YOMEDIA
NONE

Tìm m nguyên dương để A = ( x_1/x_2 )^2 + (x_2/x_1 ) 2 có giá trị nguyên

Cho x1;x2 là 2 nghiệm của ptr :

x2 - 2(m - 1)x + 2m - 6 = 0

Tìm m nguyên dương để \(A=\left(\dfrac{x1}{x2}\right)^2+\left(\dfrac{x2}{x1}\right)^2\)

có giá trị nguyên .

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Phạm Văn khải

    Lời giải:

    Điều kiện: \(\Delta'=m^2-4m+7>0\) (luôn đúng)

    Áp dụng định lý Viete, nếu $x_1,x_2$ là nghiệm của PT trên thì:

    \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2(m-1)\\ x_1x_2=2m-6\end{matrix}\right.\)

    Do đó: \(A=\left ( \frac{x_1}{x_2} \right )^2+\left ( \frac{x_2}{x_1} \right )^2=\left (\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}\right)^2-2=\frac{(x_1^2+x_2^2)^2}{(x_1x_2)^2}-2\)

    \(A=\left ( \frac{x_1}{x_2} \right )^2+\left ( \frac{x_2}{x_1} \right )^2=\left (\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}\right)^2-2\)

    \(=\frac{(x_1^2+x_2^2)^2}{(x_1x_2)^2}-2=\frac{[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2]^2}{(x_1x_2)^2}-2=\frac{[4(m-1)^2-2(2m-6)]^2}{(2m-6)^2}-2=\frac{16(m-1)^4-16(m-1)^2(2m-6)}{(2m-6)^2}+2\)

    Để \(A\in\mathbb{Z}\Rightarrow 16(m-1)^4-16(m-1)^2(2m-6)\vdots (2m-6)^2\)

    \(\Leftrightarrow 4(m-1)^4-8(m-1)^2(m-3)\vdots (m-3)^2\)

    Xét điều kiện yếu hơn, \(\) \(4(m-1)^4-8(m-1)^2(m-3)\vdots m-3\Leftrightarrow 4(m-1)^4\vdots m-3\)

    \(\Leftrightarrow 4[(m-1)^4-2^4]+2^6\vdots m-3\)

    Vì \((m-1)^4-2^4\vdots m-3\Rightarrow 2^6\vdots m-3\). Mà \(m\in\mathbb{Z}^+\Rightarrow m-3\in \left \{\pm 1,\pm 2,4,8,16,32,64\right\}\)

    Thử lại ta thu được \(m\in \left \{1,2,4, 5,7,11\right\}\)

      bởi Phạm Văn khải 25/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON