YOMEDIA
NONE

Tìm GTNN Q=x+1/1+y^2 +y+1/1+z^2 +z+1/1+x^2

Cho x,y,z là 3 số thực dương thỏa mãn: x+y+z=3. Tìm GTNN

\(Q=\dfrac{x+1}{1+y^2}+\dfrac{y+1}{1+z^2}+\dfrac{z+1}{1+x^2}\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (2)

  • Ta có \(\dfrac{x}{1+y^2}=x-\dfrac{xy^2}{1+y^2}\ge x-\dfrac{xy}{2}\)

    Tương tự ta có \(\Sigma\left(\dfrac{x}{1+y^2}\right)\ge\Sigma\left(x-\dfrac{xy}{2}\right)=3-\left(\dfrac{xy+yz+xz}{2}\right)\)

    Theo hệ quả của bđt Cauchy ta có \(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+xz\right)\)

    \(\Leftrightarrow3\ge xy+yz+xz\Rightarrow3-\left(\dfrac{xy+yz+xz}{2}\right)\ge3-\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{2}\)

    \(\Rightarrow\dfrac{x}{1+y^2}+\dfrac{y}{1+z^2}+\dfrac{z}{1+x^2}\ge\dfrac{3}{2}\) ( 1 )

    Ta lại có \(\dfrac{1}{1+y^2}=1-\dfrac{y^2}{1+y^2}\ge1-\dfrac{y}{2}\)

    Tương tự ta có \(\Sigma\left(\dfrac{1}{1+y^2}\right)\ge\Sigma\left(1-\dfrac{y}{2}\right)=3-\left(\dfrac{x+y+z}{2}\right)=3-\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{2}\)

    \(\Rightarrow\dfrac{1}{1+y^2}+\dfrac{1}{1+z^2}+\dfrac{1}{1+x^2}\ge\dfrac{3}{2}\) ( 2 )

    Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow Q\ge\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}=3\)

    Vậy \(Q_{min}=3\)

    Dấu '' = '' xảy ra khi \(x=y=z=1\)

      bởi Nguyễn Tuấn Anh 09/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
  • YOMEDIA

    Video HD đặt và trả lời câu hỏi - Tích lũy điểm thưởng

  • Qmin=3 Dấu '' = '' xảy ra khi x = y = z = 1

      bởi Nguyễn Đăng Chiến 04/03/2020
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

ZUNIA9
 

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF