YOMEDIA
NONE

Tìm GTLN của P=căn(ab/c+ab)+căn(bc/a+bc)+căn(ca/b+ca)

cho a, b, c là 3 số thực dương thỏa mãn a+b+c=1

tìm GTLN \(P=\sqrt{\dfrac{ab}{c+ab}}+\sqrt{\dfrac{bc}{a+bc}}+\sqrt{\dfrac{ca}{b+ca}}\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • \(P=\sqrt{\dfrac{ab}{c+ab}}+\sqrt{\dfrac{bc}{a+bc}}+\sqrt{\dfrac{ca}{b+ca}}\)

    \(P=\sqrt{\dfrac{ab}{c\left(a+b+c\right)+ab}}+\sqrt{\dfrac{bc}{a\left(a+b+c\right)+bc}}+\sqrt{\dfrac{ca}{b\left(a+b+c\right)+ca}}\)

    \(P=\sqrt{\dfrac{ab}{ac+bc+c^2+ab}}+\sqrt{\dfrac{bc}{a^2+ab+ac+bc}}+\sqrt{\dfrac{ca}{ab+b^2+bc+ca}}\)

    \(P=\sqrt{\dfrac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}+\sqrt{\dfrac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\sqrt{\dfrac{ca}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\)

    Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 bộ số thực không âm

    \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{\dfrac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le\dfrac{\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{b}{b+c}}{2}\\\sqrt{\dfrac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\dfrac{\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{c}{a+c}}{2}\\\sqrt{\dfrac{ca}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\le\dfrac{\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{c}{b+c}}{2}\end{matrix}\right.\)

    \(\Rightarrow VT\le\dfrac{\left(\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{c}{a+c}\right)+\left(\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{b+c}\right)+\left(\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{a}{a+b}\right)}{2}\)

    \(\Rightarrow VT\le\dfrac{\dfrac{a+c}{a+c}+\dfrac{b+c}{b+c}+\dfrac{a+b}{a+b}}{2}=\dfrac{3}{2}\)

    \(\Rightarrow P\le\dfrac{3}{2}\)

    Vậy \(P_{max}=\dfrac{3}{2}\)

    Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

      bởi Chu Phương Anh 31/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

ZUNIA9
 

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF