YOMEDIA
NONE

Tìm giá trị nhỏ nhất P= a^2/b+c + b^2/c + a + c^2/a + b

cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn

\(\sqrt{a^2+b^2}\)+\(\sqrt{b^2+c^2}\)+\(\sqrt{c^2+a^2}\)=\(\sqrt{2016}\)

tìm giá trị nhỏ nhất P=\(\frac{a^2}{b+c}\)+\(\frac{b^2}{c+a}\)+\(\frac{c^2}{a+b}\)

các bạn giúp mình nha mih cần gấp lắm mong các bạn đừng vội vàng lướt qua, mình cảm ơn

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Nguyễn Thanh Nga

    Lời giải:

    Trước tiên, ta sẽ CM bất đẳng thức sau:\(P\geq \frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\)\((\star)\)

    Thật vậy: BĐT tương đương với :

    \(a^2\left (\frac{1}{b+c}-\frac{1}{a+b} \right )+b^2\left ( \frac{1}{c+a}-\frac{1}{b+c} \right )+c^2\left ( \frac{1}{a+b}-\frac{1}{a+c} \right )\geq 0\)

    \(\Leftrightarrow a^2(a^2-c^2)+b^2(b^2-a^2)+c^2(c^2-b^2)\geq 0\)

    \(\Leftrightarrow (a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)^2+(c^2-a^2)^2\geq 0\) (luôn đúng)

    BĐT \((\star)\) được chứng minh .

    Giờ ta chỉ cần tìm min của \(A=\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\)

    Để ý rằng \(A-\left(\frac{b^2}{a+b}+\frac{c^2}{c+a}+\frac{a^2}{c+a}\right)=\sum \left(\frac{a^2-b^2}{a+b}\right)=a-b+b-c+c-a=0\)

    \(\Rightarrow 2A=\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a}\). Sử dụng Cauchy-Schwarz:

    \(2A\geq \frac{(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2})^2}{2(a+b+c)}=\frac{1008}{a+b+c}\)

    Sử dụng AM_GM: \(\sqrt{2016}=\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\geq \frac{a+b}{\sqrt{2}}+\frac{b+c}{\sqrt{2}}+\frac{c+a}{\sqrt{2}}\)

    \(\Leftrightarrow a+b+c\leq 12\sqrt{7}\) suy ra \(A\geq 6\sqrt{7}\) suy ra \(P_{\min}=6\sqrt{7}\)

    Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=4\sqrt{7}\)

      bởi Nguyễn Thanh Nga 22/02/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON