YOMEDIA
NONE

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a^3 + b^3 + c^3

Cho các số thực a; b; c > -1 thoả mãn \(a^2+b^2+c^2=27\)

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=a^3+b^3+c^3\)

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Trần Hiền

    Lời giải:

    Đặt \((a,b,c)=(x-1,y-1,z-1)\Rightarrow x,y,z>0\)

    Điều kiện: \(a^2+b^2+c^2=27\)

    \(\Leftrightarrow (x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=27\)

    \(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=24+2(x+y+z)(*)\)

    Ta có:

    \(P=(x-1)^3+(y-1)^3+(z-1)^3\)

    \(=x^3+y^3+z^3-3(x^2+y^2+z^2)+3(x+y+z)-3\)

    Áp dụng BĐT AM-GM:

    \(x^3+16x\geq 8x^2;y^3+16y\geq 8y^2; z^3+16z\geq 8z^2\)

    \(\Rightarrow P\geq 5(x^2+y^2+z^2)-13(x+y+z)-3\)

    \(\Leftrightarrow P\geq 5[24+2(x+y+z)]-13(x+y+z)-3\)

    \(\Leftrightarrow P\geq 120-3(x+y+z)-3\)

    Áp dụng AM-GM cho $(*)$ thì:

    \(24+3(x+y+z)\geq \frac{(x+y+z)^2}{3}\). Coi $x+y+z=t$ là biến, giải BPT suy ra \(t=x+y+z\leq 12\)

    \(\Rightarrow P\geq 120-3.12-3=81\)

    Vậy $P_{\min}=81$ khi $a=b=c=3$

      bởi Trần Hiền 29/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON