YOMEDIA
NONE

Tìm các số nguyên x sao cho x^3 − 3x^2 + x + 2 là số chính phương

Tìm các số nguyên x sao cho \(x^3-3x^2+x+2\) là số chính phương

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Phượng Thanh

    Lời giải:

    Ta có:

    \(A=x^3-3x^2+x+2=x^2(x-2)-x(x-2)-(x-2)\)

    \(A=(x-2)(x^2-x-1)\)

    Xét TH \(x^2-x-1<0\Leftrightarrow 4x^2-4x-4<0\)

    \(\Leftrightarrow (2x-1)^2-5<0\)

    \(\Leftrightarrow (2x-1)^2<5<9\)

    \(\Leftrightarrow -3< 2x-1< 3\Leftrightarrow -1< x< 2\)

    Thử \(x=0; 1\) có \(x=1\) thỏa mãn.

    Xét TH \(x^2-x-1\geq 0\Rightarrow x-2\geq 0\)

    Gọi $d$ là ước chung lớn nhất giữa \((x-2, x^2-x-1)\)

    \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x-2\vdots d\rightarrow (x-2)(x+1)\vdots d\\ x^2-x-1\vdots d\end{matrix}\right.\)

    \(\Rightarrow (x^2-x-2)-(x^2-x-1)\vdots d\)

    \(\Leftrightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1\)

    Do đó $x-2, x^2-x-1$ nguyên tố cùng nhau. Do đó để A là số chính phương thì bản thân $x-2$ và $x^2-x-1$ là số chính phương

    Đặt \(\left\{\begin{matrix} x-2=a^2\\ x^2-x-1=b^2\end{matrix}\right.\)

    Xét \(x^2-x-1=b^2\) với \(b\in\mathbb{Z}\). Ta có thể coi \(b\geq 0\)

    \(\Rightarrow 4x^2-4x-4=(2b)^2\)

    \(\Leftrightarrow (2x-1)^2-5=(2b)^2\)

    \(\Leftrightarrow 5=(2x-1-2b)(2x-1+2b)\)

    Vì \(2x-1-2b\leq 2x-1+2b\) nên xét các TH sau:

    TH1: \(\left\{\begin{matrix} 2x-1-2b=1\\ 2x-1+2b=5\end{matrix}\right.\Rightarrow 4x-2=6\Rightarrow x=2\) (thỏa mãn)

    TH2: \(\left\{\begin{matrix} 2x-1-2b=-5\\ 2x-1+2b=-1\end{matrix}\right.\Rightarrow 4x-2=-6\Rightarrow x=-1\) (vô lý vì \(x-2\geq 0\) )

    Vậy \(x\in\left\{1; 2\right\}\)

     

     

     

     

     

      bởi Phượng Thanh 30/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON