YOMEDIA
NONE

Chứng minh x^3/y^3+8 + y^3/z^3+8+z^3/x^3+8≥1/9+2/27(xy+yz+zx)

Cho x,y,z >0 tm x+y+z=3

C/m :\(\dfrac{x^3}{y^3+8}+\dfrac{y^3}{z^3+8}+\dfrac{z^3}{x^3+8}\ge\dfrac{1}{9}+\dfrac{2}{27}\left(xy+yz+zx\right)\)

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Phạm Hải Yến

    Cái bài này bình thường :v

    Đặt \(A=\dfrac{x^3}{y^3+8}+\dfrac{y^3}{z^3+8}+\dfrac{z^3}{x^3+8}\)

    \(BDT\Leftrightarrow\dfrac{x^3}{y^3+8}+\dfrac{y^3}{z^3+8}+\dfrac{z^3}{x^3+8}-\dfrac{2}{27}\left(xy+yz+xz\right)\ge\dfrac{1}{9}\)

    Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

    \(\dfrac{x^3}{y^3+8}+\dfrac{y+2}{27}+\dfrac{y^2-2y+4}{27}\)

    \(\ge3\sqrt[3]{\dfrac{x^3}{y^3+8}\cdot\dfrac{y+2}{27}\cdot\dfrac{y^2-2y+4}{27}}=\dfrac{x}{3}\)

    Tương tự cho 2 BĐT còn lại cũng có:

    \(\dfrac{y^3}{z^3+8}+\dfrac{z+2}{27}+\dfrac{z^2-2z+4}{27}\ge\dfrac{y}{3};\dfrac{z^3}{x^3+8}+\dfrac{x+2}{27}+\dfrac{x^2-2x+4}{27}\ge\dfrac{z}{3}\)

    Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

    \(A+\dfrac{x+y+z+6}{27}+\dfrac{x^2+y^2+z^2-2\left(x+y+z\right)+12}{27}\ge\dfrac{x+y+z}{3}\)

    \(\Leftrightarrow A+\dfrac{9}{27}+\dfrac{\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+6}{27}\ge1\)\(\Leftrightarrow A\ge\dfrac{1}{3}\)

    Cần chứng minh \(VT=A-\dfrac{2}{27}\left(xy+yz+xz\right)\ge\dfrac{1}{9}=VP\)

    \(\Leftrightarrow VT=\dfrac{1}{3}-\dfrac{2\cdot\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}{27}=\dfrac{1}{9}=VP\) (đúng)

    Xảy ra khi \(x=y=z=1\)

    P/s:Trình bày hơi khó hiểu, thông cảm :v

      bởi Phạm Hải Yến 29/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON