YOMEDIA
NONE

Chứng minh với mọi a,b dương ta có a^5 + b^5 >= a^3b^2 + a^2 b^3

1)Chứng minh với mọi a,b dương ta có: a5 + b5 >= a3b2 + a2 b3

Dấu '=' xảy ra khi nào?

2) Cho a,b,c> 0 thoả mãn abc = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P= \(\dfrac{ab}{a^{5^{ }}+b^5+ab}\) + \(\dfrac{bc}{b^5+c^5+bc}\) + \(\dfrac{ca}{c^5+a^5+ca}\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Hoàng Dũng

    Bài 1:

    Sử dụng biến đổi tương đương. Ta có:

    \(a^5+b^5\geq a^3b^2+a^2b^3\)

    \(\Leftrightarrow a^5+b^5-a^3b^2-a^2b^3\geq 0\)

    \(\Leftrightarrow a^3(a^2-b^2)-b^3(a^2-b^2)\geq 0\)

    \(\Leftrightarrow (a^3-b^3)(a^2-b^2)\geq 0\)

    \(\Leftrightarrow (a-b)^2(a^2+ab+b^2)(a+b)\geq 0\) (luôn đúng với mọi $a,b$ dương)

    Ta có đpcm.

    Dấu bằng xảy ra khi \((a-b)^2=0\Leftrightarrow a=b\)

    Bài 2: Sử dụng kết quả bài 1:

    \(a^5+b^5\geq a^3b^2+a^2b^3\Rightarrow a^5+b^5+ab\geq a^3b^2+a^2b^3+ab\)

    \(\Rightarrow \frac{ab}{a^5+b^5+ab}\leq \frac{ab}{a^3b^2+a^2b^3+ab}=\frac{1}{a^2b+ab^2+1}=\frac{1}{a^2b+ab^2+abc}=\frac{1}{ab(a+b+c)}\)

    Hoàn toàn tt:

    \(\frac{bc}{b^5+c^5+bc}\leq \frac{1}{bc(a+b+c)}; \frac{ca}{c^5+a^5+ac}\leq \frac{1}{ac(a+b+c)}\)

    Do đó:
    \(P\leq \frac{1}{ab(a+b+c)}+\frac{1}{bc(a+b+c)}+\frac{1}{ac(a+b+c)}\). Thay \(1=abc\)

    \(\Leftrightarrow P\leq \frac{c}{a+b+c}+\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}=1\) (đpcm)

     

     

      bởi Hoàng Dũng 15/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF