YOMEDIA
NONE

Chứng minh tứ giác AHIK nội tiếp

Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O; R). Gọi I là giao điểm AC và BD. Kẻ IH vuông góc với AB; IK vuông góc với AD \(\left(H\in AB;K\in AD\right)\).

a/ CM tứ giác AHIK nội tiếp

b/ CM: IA.IC=IB.ID

c/ CMR: tam giác HIK và tam giác BCD đồng dạng

d/ Gọi S là diện tích tam giác ABD, S' là diện tích tam giác HIK. CMR: \(\dfrac{S'}{S}\le\dfrac{HK^2}{4AI^2}\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • võ hoàng giáp

    a) Tứ giác AHIK nội tiếp

    \(\widehat{AHI}+\widehat{AKI}=90^0+90^0=180^0\)

    \(\Rightarrow\text{AHIK nội tiếp}\)

    b) \(IA\times IC=IB\times ID\)

    \(\text{Xét }\Delta IAB\text{ và }\Delta IDC\text{ có:}\)

    \(\widehat{AIB}=\widehat{DIC}\left(\text{2 góc đối đỉnh}\right)\)

    \(\widehat{A_1}=\widehat{D_1}\left(\text{cùng chắn }\stackrel\frown{BC}\right)\)

    \(\Rightarrow\Delta IAB\sim\Delta IDC\left(g-g\right)\)

    \(\Rightarrow\dfrac{IA}{ID}=\dfrac{IB}{IC}\)

    \(\Rightarrow IA\times IC=IB\times ID\)

    c) \(\Delta HKI\sim\Delta BDC\)

    \(\widehat{H_2}=\widehat{A_2}\left(\text{AHIK nội tiếp}\right)\)

    \(\widehat{A_2}=\widehat{B_2}\left(\text{cùng chắn }\stackrel\frown{CD}\right)\)

    \(\Rightarrow\widehat{H_2}=\widehat{B_2}\) (1)

    \(\widehat{K_1}=\widehat{A_1}\left(\text{AHIK nội tiếp}\right)\)

    \(\widehat{A_1}=\widehat{D_1}\left(\text{cùng chắn }\stackrel\frown{BC}\right)\)

    \(\Rightarrow\widehat{K_1}=\widehat{D_1}\) (2)

    Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\Delta HKI\sim\Delta BDC\left(g-g\right)\)

    d) \(\dfrac{S_{HKI}}{S_{ABD}}\le\dfrac{HK^2}{4AI^2}\)

    ➤ \(\Delta HKI\sim\Delta BDC\Rightarrow\dfrac{S_{HKI}}{S_{BDC}}=\dfrac{HK^2}{BD^2}\Rightarrow S_{HKI}=\dfrac{HK^2\times S_{BDC}}{BD^2}\)

    ➤ \(\text{Đặt }T=\dfrac{S_{HKI}}{S_{ABD}}=\dfrac{HK^2\times S_{BDC}}{BD^2\times S_{ABC}}\)

    Ta có: \(\dfrac{S_{BDC}}{S_{ABC}}=\dfrac{IC}{IA}\)

    \(\Rightarrow T=\dfrac{HK^2\times IC}{BD^2\times IA}=\dfrac{HK^2\times IC}{\left(IB+ID\right)^2\times IA}\)

    ➤ Áp dụng bất đẳng thức AM - GM

    \(\Rightarrow T\le\dfrac{HK^2\times IC}{4\times IB\times ID\times IA}=\dfrac{HK^2\times IC}{4\times IA\times IC\times IA}=\dfrac{HK^2}{4IA^2}\left(đpcm\right)\)

      bởi võ hoàng giáp 07/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF