YOMEDIA
NONE

Chứng minh rằng căn(a^3/5a^2+(b+c)^2) + căn(b^3/5b^2+(c+a)^2) + căn(c^3/5c^2+(a+b)^2)≤căn(a+b+c/3)

Cho \(a,b,c>0\). CMR:

\(\sqrt{\dfrac{a^3}{5a^2+\left(b+c\right)^2}}+\sqrt{\dfrac{b^3}{5b^2+\left(c+a\right)^2}}+\sqrt{\dfrac{c^3}{5c^2+\left(a+b\right)^2}}\le\sqrt{\dfrac{a+b+c}{3}}\)

Ace Legona

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Thủy Nguyễn Thị

    Tag ko thông báo ;( . Hungnguyen đã chứng minh bài toán này với dạng "hiệu" quát, thì t sẽ chứng minh dạng tổng quát như sau

    \(\sqrt{\dfrac{a^3}{ka^2+\left(b+c\right)^2}}+\sqrt{\dfrac{b^3}{kb^2+\left(c+a\right)^2}}+\sqrt{\dfrac{c^3}{kc^2+\left(a+b\right)^2}}\le\sqrt{\dfrac{3\left(a+b+c\right)}{k+4}}\) chứng minh BĐT trên đúng với \(k=5\)

    Cho \(\left\{{}\begin{matrix}a=b=1\\c=0\end{matrix}\right.\) suy ra \(k\geq 5\). Ta cần chứng minh \(\sum \sqrt{\frac{a^3}{5a^2+(b+c)^2}}\leq \sqrt{\frac{a+b+c}{3}}\)

    Theo BĐT Cauchy-Schwarz: \((\sum \sqrt{\frac{a^3}{5a^2+(b+c)^2}})^{2}\leq (\sum a)(\sum \frac{a^2}{5a^2+(b+c)^2})\)

    Ta cần chứng minh \((\sum \frac{a^2}{5a^2+(b+c)^2})\leq \frac{1}{3}\)

    Không mất tính tổng quát ta giả sử \(a+b+c=1;a\ge b\ge c\Rightarrow a\ge\frac{1}{3}\ge c\)

    BĐT trở thành \(\sum \frac{a^2}{6a^2-2a+1}\leq \frac{1}{3}\)

    *)Xét \(c\geq \frac{1}{8}\), thì ta có:

    \(9-\sum \frac{27a^2}{6a^2-2a+1}=\sum (12a-1-\frac{27a^2}{6a^2-2a+1})=\sum \frac{(3a-1)^2(8a-1)}{6a^2-2a+1}\geq 0\)

    *)Xét \(c\leq \frac{1}{8}\), ta có:

    \(6(VT-VP)=\frac{2a-1}{6a^2-2a+1}+\frac{2b-1}{6b^2-2b+1}+\frac{6c^2}{6c^2-2c+1}\)

    \(=\frac{a-b-c}{6a^2-2a+1}+\frac{b-c-a}{6b^2-2b+1}+\frac{6c^2}{6c^2-2c+1} \)

    \(=\frac{2(a-b)^2(3c-2)}{(6a^2-2a+1)(6b^2-2b+1)}+c(\frac{6c}{6c^2-2c+1}-\frac{1}{6a^2-2a+1}-\frac{1}{6b^2-2b+1}) \)

    Ta cần chứng minh \(\frac{1}{6a^2-2a+1}-\frac{1}{6b^2-2b+1}\geq \frac{6c}{6c^2-2c+1}\)

    Do \(c\leq \frac{1}{8}\Rightarrow \frac{6c}{6c^2-2c+1}\leq 1\)

    Suy ra cần chứng minh \(\frac{1}{6a^2-2a+1}-\frac{1}{6b^2-2b+1}\geq1\)

    *)Xét \(b\leq \frac{1}{3}\) thì \(\frac{1}{6b^2-2b+1}\geq1\)

    *)Xét \(b\ge \frac{1}{3}\). Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz lần nữa ta có:

    \(4\geq 6(a^2+b^2)-2(a+b)+2\)

    Hay \((2(a+b)+c)(a+b+c)\geq3(a^2+b^2)\)

    Do \(b\geq \frac{1}{3} \Rightarrow 3b\ge a\)\(\Rightarrow (2(a+b)+c)(a+b+c)\geq 2(a+b)^2\)

    \(=3(a^2+b^2)+4ab-a^2-b^2 \geq 3(a^2+b^2)+3ab-a^2\geq 3(a^2+b^2)\)

    Bất đẳng thức được chứng minh xong

    T/b:MOng æ sẽ theo dõi lời giải này, cám ơn :brick:

      bởi Thủy Nguyễn Thị 31/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF