ON
YOMEDIA
VIDEO

Chứng minh rằng căn(2(a+b+c))≤S≤căn3(a+b+c)

Cho a, b,c là 3 độ dài 3 cạnh tam giác và

S=\(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\)

CMR: \(\sqrt{2\left(a+b+c\right)}\le S\le\sqrt{3}\left(a+b+c\right)\)

Theo dõi Vi phạm
YOMEDIA

Trả lời (1)

 
 
 
  • Lời giải:

    Vế đầu tiên:

    Áp dụng BĐT AM-GM:

    \(a^2+b^2\geq 2ab\Rightarrow 2(a^2+b^2)\geq (a+b)^2\Leftrightarrow a^2+b^2\geq \frac{(a+b)^2}{2}\)

    Do đó, \(\sqrt{a^2+b^2}\geq \frac{a+b}{\sqrt{2}}\). Tương tự với các biểu thức còn lại và cộng theo vế:

    \(\Rightarrow S\geq \sqrt{2}(a+b+c)\) (đpcm)

    Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$

    Vế sau:

    Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

    \(S^2\leq (1+1+1)(a^2+b^2+b^2+c^2+c^2+a^2)\)

    \(\Leftrightarrow S^2\leq 6(a^2+b^2+c^2)\Leftrightarrow S\leq \sqrt{6(a^2+b^2+c^2)}\) \((1)\)

    Ta sẽ cm \(\sqrt{6(a^2+b^2+c^2)}< \sqrt{3}(a+b+c)\)

    \(\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)\leq (a+b+c)^2\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\leq 2(ab+bc+ac)\)

    \(\Leftrightarrow a(b+c-a)+b(c+a-b)+c(a+b-c)\geq 0\) (luôn đúng vì $a,b,c$ là độ dài ba cạnh tam giác)

    Do đó \(\sqrt{6(a^2+b^2+c^2)}<\sqrt{3}(a+b+c)(2)\)

    Từ \((1),(2)\Rightarrow S<\sqrt{3}(a+b+c)\)

    Vậy ta có đpcm.

      bởi lê thị hằng nga 18/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
YOMEDIA

Video HD đặt và trả lời câu hỏi - Tích lũy điểm thưởng

Các câu hỏi có liên quan

 

YOMEDIA
1=>1