YOMEDIA
NONE

Chứng minh rằng a^2 - b^2 + c^2 ≥ (a-b+c)^2

Cho các số thực a \(\ge\) b \(\ge\) c \(\ge\) d\(\ge\) 0 . Cmr

a/ a2 - b2 + c2 \(\ge\) (a-b+c)2

b/ a2 - b2 + c2 - d2 \(\ge\) (a-b+c-d)2

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Nguyen Ngoc Huyen Vy

    Lời giải:

    a) Ta có:

    \(a^2-b^2+c^2\geq (a-b+c)^2\)

    \(\Leftrightarrow a^2-b^2+c^2\geq a^2+b^2+c^2-2ab-2bc+2ac\)

    \(\Leftrightarrow 2ab+2bc\geq 2b^2+2ac\)

    \(\Leftrightarrow ab+bc\geq b^2+ac\Leftrightarrow b(a-b)+c(b-a)\geq 0\)

    \(\Leftrightarrow (a-b)(b-c)\geq 0\)

    BĐT trên luôn đúng do \(a\geq b\geq c\)

    Do đó ta có đpcm.

    b) \(a^2-b^2+c^2-d^2\geq (a-b+c-d)^2\)

    \(\Leftrightarrow a^2-b^2+c^2-d^2\geq (a-b)^2+(c-d)^2+2(a-b)(c-d)\)

    \(\Leftrightarrow a^2-b^2+c^2-d^2\geq a^2+b^2+c^2+d^2-2ab-2cd+2ac-2ad-2bc+2bd\)

    \(\Leftrightarrow 2(ab+cd+ad+bc)\geq 2(b^2+d^2)+2ac+2bd\)

    \(\Leftrightarrow ab+cd+ad+bc\geq b^2+d^2+ac+bd\)

    \(\Leftrightarrow b(a-b)+d(c-d)+d(a-b)-c(a-b)\geq 0\)

    \(\Leftrightarrow (a-b)(b+d-c)+d(c-d)\geq 0\)

    BĐT trên luôn đúng do:

    \(\left\{\begin{matrix} d\geq 0\\ a\geq b\rightarrow a-b\geq 0\\ c\geq d\rightarrow c-d\geq 0\\ b\geq d\rightarrow b+d-c\geq 0\end{matrix}\right.\Rightarrow (a-b)(b+d-c)+d(c-d)\geq 0\)

    Do đó ta có đpcm.

      bởi Nguyen Ngoc Huyen Vy 15/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF