YOMEDIA
NONE

Chứng minh rằng 1/a^2+1 + 1/b^2+1 + 1/c^2+1 >=3/2

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn ab + bc + ca = 3. CMR :

\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\ge\frac{3}{2}\)

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Phan châu Pha

    Lời giải:

    Ta sử dụng bổ đề sau:

    Bổ đề:Nếu \(a,b>0, ab\geq 1\) thì: \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\geq \frac{2}{ab+1}(*)\)

    Chứng minh:

    Thực hiện biến đổi tương đương:

    \((*)\Leftrightarrow \frac{a^2+b^2+2}{(a^2+1)(b^2+1)}\geq \frac{2}{ab+1}\)

    \(\Leftrightarrow (ab+1)(a^2+b^2+2)\geq 2(a^2b^2+a^2+b^2+1)\)

    \(\Leftrightarrow ab(a^2+b^2+2)\geq 2a^2b^2+a^2+b^2\)

    \(\Leftrightarrow ab(a^2+b^2-2ab)-(a^2+b^2-2ab)\geq 0\)

    \(\Leftrightarrow (a-b)^2(ab-1)\geq 0\) (luôn đúng với mọi \(ab\geq 1\) )

    Bổ đề đc chứng minh.

    Quay trở lại bải toán ban đầu:

    Không mất tổng quát giả sử \(c=\min (a,b,c)\)

    Khi đó: \(ab=\max (ab,bc,ac)\Rightarrow ab\geq 1\)

    Áp dụng bổ đề đã nêu:

    \(\text{VT}=\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\geq \frac{2}{ab+1}+\frac{1}{c^2+1}\)

    \(\Leftrightarrow \text{VT}\geq \frac{2c^2+ab+3}{abc^2+ab+c^2+1}\)

    Ta thấy :

    \(\frac{2c^2+ab+3}{abc^2+ab+c^2+1}-\frac{3}{2}=\frac{c^2+3-ab-3abc^2}{2(abc^2+ab+c^2+1)}=\frac{c^2+bc+ac-3abc^2}{2(abc^2+ab+c^2+3)}=\frac{c(a+b+c-3abc)}{2(abc^2+ab+c^2+1)}\)

    Áp dụng BĐT AM_GM:

    \((a+b+c)(ab+bc+ac)\geq 3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=9abc\)

    \(\Rightarrow 3(a+b+c)\geq 9abc\Rightarrow a+b+c\geq 3abc\)

    \(\Rightarrow \frac{2c^2+ab+3}{abc^2+ab+c^2+1}-\frac{3}{2}=\frac{c(a+b+c-3abc)}{2(abc^2+ab+c^2+1)}\geq 0\)

    \(\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{2c^2+ab+3}{abc^2+ab+c^2+1}\geq \frac{3}{2}\)

    Ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)

      bởi Phan châu Pha 15/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON