YOMEDIA
NONE

Cho tam giác đều \(ABC\) có cạnh bằng \(a.\) Hai điểm \(M,\;N\) lần lượt di động trên hai đoạn thẳng \(AB,\;\;AC\) sao cho \(\dfrac{{AM}}{{MB}} + \dfrac{{AN}}{{NC}} = 1.\) Đặt \(AM = x\) và \(AN = y.\) Chứng minh: \(MN = a - x - y.\)

Cho tam giác đều \(ABC\) có cạnh bằng \(a.\) Hai điểm \(M,\;N\) lần lượt di động trên hai đoạn thẳng \(AB,\;\;AC\) sao cho \(\dfrac{{AM}}{{MB}} + \dfrac{{AN}}{{NC}} = 1.\) Đặt \(AM = x\) và \(AN = y.\) Chứng minh: \(MN = a - x - y.\)\(\(MN = a - x - y.\)\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Ngoc Tiên

     

    Ta có:

    \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\dfrac{{AM}}{{MB}} + \dfrac{{AN}}{{NC}} = 1\\ \Rightarrow \dfrac{{AM}}{{AB - AM}} + \dfrac{{AN}}{{AC - AN}} = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{x}{{a - x}} + \dfrac{y}{{a - y}} = 1\\ \Leftrightarrow ax - xy + ay - xy = {a^2} - ax - ay + xy\\ \Leftrightarrow {a^2} - 2ax - 2ay + 3xy = 0\\ \Leftrightarrow {a^2} + {x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + 2xy = {x^2} + {y^2} - xy\\ \Leftrightarrow {\left( {a - x - y} \right)^2} = {x^2} + {y^2} - xy\end{array}\)

    Giả sử \(x > y\) , kẻ MM’ // BC, NN’ // BC \(M' \in AC;\,\,N' \in AB\).

    Áp dụng định lí Ta-let ta có \(\dfrac{{AM}}{{AB}} = \dfrac{{AM'}}{{AC}};\,\,AB = AC \Rightarrow AM = AM'\)

    \(\angle BAC = {60^0} \Rightarrow \angle MAM' = {60^0} \Rightarrow \Delta AMM'\) đều \( \Rightarrow MM' = AM = x\).

    Chứng minh tương tự ta có : \(NN' = y\)

    MM’ // NN’ ; \(\angle AMM' = \angle AM'M = {60^0} \Rightarrow \) tứ giác MM’NN’ là hình thang cân.

    Ta có \(MN' = M'N = x - y\).

    Kẻ \(NH \bot MM'\) ta có : \(M'H = \dfrac{{x - y}}{2};\,\,MH = \dfrac{{x + y}}{2}\).

    Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông NHM’ có :

    \(NH = \sqrt {NM{'^2} - M'{H^2}}  \)\(\;= \sqrt {{{\left( {x - y} \right)}^2} - \dfrac{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}}{4}}  \)\(\;= \dfrac{{\left( {x - y} \right)\sqrt 3 }}{2}\)

    Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông NHM có :

    \(\begin{array}{l}MN = \sqrt {N{H^2} + M{H^2}} \\ = \sqrt {\dfrac{{3{{\left( {x - y} \right)}^2}}}{4} + \dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4}}  \\= \sqrt {\dfrac{{4{x^2} + 4{y^2} - 4xy}}{4}}\\  = \sqrt {{x^2} + {y^2} - xy}  \\= \sqrt {{{\left( {a - x - y} \right)}^2}}  = \left| {a - x - y} \right|\end{array}\)

    Ta có

    \(\begin{array}{l}\dfrac{{AM}}{{MB}} + \dfrac{{AN}}{{NC}} = 1\\ \Rightarrow \dfrac{{AM}}{{MB}} < 1 \Rightarrow AM < MB\\ \Rightarrow AM + AM < AM + MB = AB = a\\ \Rightarrow AM < \dfrac{1}{2}a\end{array}\)

    Chứng minh tương tự ta có \(AN < \dfrac{1}{2}a\)

    \( \Rightarrow a - x - y > a - \dfrac{1}{2}a - \dfrac{1}{2}a = 0 \)

    \(\Rightarrow \left| {a - x - y} \right| = a - x - y\)

    Vậy \(MN = a - x - y\).

      bởi Ngoc Tiên 12/07/2021
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 9

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF