Xác định k để đường thẳng d_k song song với 2 mặt phẳng 6x-y-3z-13=0

Câu 2)

Giả sử tồn tại MP cố định đó. Gọi PTMP mà \((d_k)\) luôn đi qua là

\((P):a(x-3)+b(y+1)+c(z+1)=0\) $(1)$

Ta chỉ cần xác định được \(a,b,c\) nghĩa là đã chứng minh được sự tồn tại của mặt phẳng cố định đó.

Vì \(d_k\in (P)\forall k\Rightarrow \overrightarrow{u_{d_k}}\perp \overrightarrow {n_P}\)

\(\Rightarrow a(k+1)+b(2k+3)+c(1-k)=0\) với mọi $k$

\(\Leftrightarrow k(a+2b-c)+(a+3b+c)=0\) với mọi $k$

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+2b-c=0\\ a+3b+c=0\end{matrix}\right.\)

Từ đây ta suy ra \(a=\frac{-5b}{2}\) và \(c=\frac{-b}{2}\)

Thay vào \((1)\) và triệt tiêu \(b\) (\(b\neq 0\) bởi vì nếu không thì \(a=c=0\) mặt phẳng không xác định được)

\(\Rightarrow (P): -5x+2y-z+16=0\)

\((d_k)\parallel (6x-y-3z-13=0(1),x-y+2z-3=0(2))\)

\(\Leftrightarrow \overrightarrow {u_{d_k}}\perp \overrightarrow {n_1},\overrightarrow{n_2}\)\(\Rightarrow \overrightarrow{u_{d_k}}\parallel[\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}]\)

Mà \(\overrightarrow{n_1}=(6,-1,-3);\overrightarrow{n_2}=(1,-1,2)\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{u_{d_k}}\parallel(-5,-15,-5)\) hay \(\frac{k+1}{-5}=\frac{2k+3}{-15}=\frac{1-k}{-5}\Rightarrow k=0\)