YOMEDIA
NONE

Trong không gian tọa độ Oxyz, xét đường thẳng \({\Delta _m}\) là giao tuyến của 2 mặt phẳng \((\alpha )\) : mx + y - mz -1= 0 và \((\alpha '):x - my + z - m = 0\). Chứng minh góc giữa \({\Delta _m}\) và trục Oz không đổi; khoảng cách giữa \({\Delta _m}\) và trục Oz không đổi.

Trong không gian tọa độ Oxyz, xét đường thẳng \({\Delta _m}\) là giao tuyến của 2 mặt phẳng \((\alpha )\) : mx + y - mz -1= 0 và \((\alpha '):x - my + z - m = 0\). Chứng minh góc giữa \({\Delta _m}\) và trục Oz không đổi; khoảng cách giữa \({\Delta _m}\) và trục Oz không đổi.

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Minh Tuyen

    \({\Delta _m}\) là giao tuyến của hai mặt phẳng với các vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}}  (m ; 1; -m) \) và \(\overrightarrow {{n_2}}  (1; -m; 1)\). Vậy \({\Delta _m}\) có vectơ chỉ phương là

    \(\overrightarrow {{u_m}}  = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \left( {1 - {m^2}; - 2m; - 1 - {m^2}} \right).\)

    Trục Oz có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow k = (0 ; 0 ; 1)\).

    Vậy nếu gọi \({\varphi _m}\) là góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _m}\) và Oz thì

    \(\cos {\varphi _m} = {{\left| {\overrightarrow {{u_m}} .\overrightarrow k } \right|} \over {\left| {\overrightarrow {{u_m}} } \right|.\left| {\overrightarrow k } \right|}} = {{1 + {m^2}} \over {\sqrt {{{\left( {1 - {m^2}} \right)}^2} + 4{m^2}+{{\left( {1 + {m^2}} \right)}^2}} }} = {1 \over {\sqrt 2 }}.\)

    Suy ra \({\varphi _m} = {45^o}\) (không đổi).

    Điểm M(x; y; z) thuộc \({\Delta _m}\) khi toạ độ của M là nghiệm của hệ

    \(\left\{ \matrix{  mx + y - mz - 1 = 0 \hfill \cr  x - my + z - m = 0. \hfill \cr}  \right.\)                    (*)

    Khử z từ hệ phương trình (*), ta được phương trình

    \(2mx + \left( {1 - {m^2}} \right)y - 1 - {m^2} = 0\) (không chứa z).

    Đây là phương trình của mặt phẳng \(\left( {{\alpha _m}} \right)\) chứa \({\Delta _m}\) và song song với trục Oz. Do đó, khoảng cách giữa \({\Delta _m}\) và Oz bằng khoảng cách từ gốc O(0 ; 0 ; 0) thuộc Oz tới mp(\({\alpha _m}\)). Vậy khoảng cách đó bằng:

    \({d_m} = {{\left| { - 1 - {m^2}} \right|} \over {\sqrt {4{m^2} + {{\left( {1 - {m^2}} \right)}^2}} }} = 1(\text{ không đổi})\)

      bởi Minh Tuyen 25/05/2021
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 12

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON