ADMICRO

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{6x^2+3y^2+2z^2}{8}+\frac{3}{x+z}+\frac{3}{y+1}\)

Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: \(x^2+y^2+z^2+2xy=\frac{3}{2}+x+y+z\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{6x^2+3y^2+2z^2}{8}+\frac{3}{x+z}+\frac{3}{y+1}\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

 
 
 
  • Đặt \(t=x+y+z>0\)
    Áp dụng BĐT \(\frac{1}{2}(a+b)^2\leq (a^2+b^2)\) với a = x + y và b = z
    ta có 
    \(\frac{1}{2}(x+y+z)^2\leq (x+y)^2+z^2=x^2+y^2+z^2+2xy=\frac{3}{2}+x+y+z\)
    \(\Leftrightarrow \frac{1}{2}t^2\leq \frac{3}{2}+t\Leftrightarrow t^2-2t-3\leq 0\Leftrightarrow -1\leq t\leq 3\)
    Vậy \(0< t\leq 3\)
    Áp dụng BĐT Bu-nhia-cốp-xki có
    \((x+y+z)^2=(x+\sqrt{2}.\frac{y}{\sqrt{2}}+\sqrt{3}.\frac{z}{\sqrt{3}})^2\leq (1+2+3)(x^2+\frac{y^2}{2}+\frac{z^2}{3})\)
    \(=6x^2+3y^2+2z^2\)
    \(\Rightarrow \frac{6x^2+3y^2+2z^2}{8}\geq \frac{(x+y+z)^2}{8}=\frac{t^2}{8}\)
    Áp dụng BĐT: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b},\forall a,b> 0 \Rightarrow \frac{3}{x+z}+\frac{3}{y+1}\geq \frac{12}{x+y+z+1}= \frac{12}{t+1}\)
    Vậy \(P\geq \frac{t^2}{8}+\frac{12}{t+1}\)
    Xét hàm số \(f(t)=\frac{t^2}{8}+\frac{12}{t+2},t\in (0;3]=D\)
    \(f'(t)=\frac{t}{4}-\frac{12}{(t+1)^2}=\frac{t(t+1)^2-48}{4(t+1)^2}<0,\forall t\in (0;3]\Rightarrow f(t)\) nghịch biến trên D
    Hàm số f(t) đạt GTNN tại t = 3 ⇒ \(min f(t)=f(3)=\frac{33}{8}\)
    Vậy \(P\geq \frac{33}{8}\)
    Dấu đẳng thức khi và chỉ khi đồng thời có: \(x+y=z, x+z=y+1,\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}\)
    \(\Leftrightarrow x=\frac{1}{2},y=1,z=\frac{3}{2}\)
    Vậy \(P_{min}=\frac{33}{8} \ khi \ x=\frac{1}{2}, y=1,z=\frac{3}{2}\)

      bởi Suong dem 09/02/2017
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Mời gia nhập Biệt đội Ninja247

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
YOMEDIA

Video HD đặt và trả lời câu hỏi - Tích lũy điểm thưởng

Các câu hỏi có liên quan

 

YOMEDIA
1=>1
Array
(
    [0] => Array
        (
            [banner_picture] => 4_1603079338.jpg
            [banner_picture2] => 
            [banner_picture3] => 
            [banner_picture4] => 
            [banner_picture5] => 
            [banner_link] => https://tracnghiem.net/de-kiem-tra/?utm_source=Hoc247&utm_medium=Banner&utm_campaign=PopupPC
            [banner_startdate] => 2020-10-19 00:00:00
            [banner_enddate] => 2020-10-31 23:59:00
            [banner_embed] => 
            [banner_date] => 
            [banner_time] => 
        )

)