YOMEDIA

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P=\frac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+30abc+180}{ab+bc+ac}-\frac{1}{20}abc\)

Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!

Cho các số thực a, b, c thuộc \(\left [ 4;6 \right ]\) và thỏa mãn điều kiện \(a+b+c=15\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

\(P=\frac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+30abc+180}{ab+bc+ac}-\frac{1}{20}abc\)

 

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

 
 
 
  • \(P=\frac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+30abc+180}{ab+bc+ac}-\frac{1}{20}abc\)

    \((ab+bc+ca)^2=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2ab^2c+2a^2bc+2abc^2\)

    \(=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc(a+b+c)=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 +30abc\)

    Do đó: 

    \(P=\frac{(ab+bc+ca)^2+180}{ab+bc+ca}-\frac{1}{20}abc\)

    Biến đổi các đại lượng khác của bài toán theo đại lượng:

    \(t=ab+bc+ca\)

    Thứ nhất:

    \((a-4)(b-4)(c-4)\geqslant 0\Leftrightarrow (ab-4a-4b+16)(c-4)\geqslant 0\)

    \(\Leftrightarrow abc-4ac-4bc+a6c-4ab+16a+16b-64\geqslant 0\)

    \(\Leftrightarrow abc-4t+16(a+b+c)-64\geq 0 \Leftrightarrow abc-4t+176\geq 0\)

    \(\Leftrightarrow abc\geq 4t-176\Leftrightarrow -abc\leq -4t+176\)

    Suy ra:

    \(P=\frac{(ab+bc+ca)^2+180}{ab+bc+ac}-\frac{1}{20}abc\leq \frac{t^2+180}{t}-\frac{1}{5}t+\frac{44}{5}\)

    \(\Rightarrow P\leq \frac{4}{5}t+\frac{180}{t}+\frac{44}{5}\)

    Thứ hai:

    \((a-6)(b-6)(c-6)\leq 0\Leftrightarrow (ab-6a-6b+36)(c-6)\leq 0\)

    \(\Leftrightarrow abc-6ac-6bc+36c-6ab+36a+36b-216\leq 0\)

    \(\Leftrightarrow abc-6t+36(a+b+c)-216\leq 0\)

    \(\Leftrightarrow abc-6t+324\leq 0\Leftrightarrow abc\leq 6t-324\)

    Kết hợp: \(\left\{\begin{matrix} abc\geq 4t-176 \\ abc\leq 6t-324 \end{matrix}\right. \Rightarrow 4t-176\leq 6t-324\Rightarrow 2t\geq 148\Rightarrow t\geq 74\)

    Thứ ba:

    \(15^2=(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+(ab+bc+ca)\)

    \(=\frac{1}{2}(a^2+b^2-2ab+b^2+c^2-2bc+c^2+a^2-2ca)+3(ab+bc+ca)\)

    \(=\frac{1}{2}\begin{bmatrix} (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 & \end{bmatrix} +3t\geq 3t\)

    Suy ra: \(t\leq 75\)

    Xét hàm số:

    \(f(t)=\frac{4}{5}t+\frac{180}{t}+\frac{44}{5},t\in\begin{bmatrix} 74;75 \end{bmatrix}\)

    \(f'(t)=\frac{4}{5}-\frac{180}{t^2}=\frac{4t^2-900}{5t^2}\)

    \(f'(t)=0 \Rightarrow t=\pm 15\)

    Suy ra \(f'(t)\leq 0,t\in\begin{bmatrix} 15;16 \end{bmatrix}\)

    Do đó hàm \(f(t)\) nghịch biến trên \(\begin{bmatrix} 15;16 \end{bmatrix}\)

    Giá trị lớn nhất của biểu thức P là:

    \(f(15)=\frac{4}{5}.15+\frac{180}{15}+\frac{44}{5}=35\)

    P=35 Khi a=4, b=5, c=6 Hoặc các hoán vị của (4,5,6)

      bởi Bánh Mì 09/02/2017
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Mời gia nhập Biệt đội Ninja247

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
YOMEDIA

Video HD đặt và trả lời câu hỏi - Tích lũy điểm thưởng

Các câu hỏi có liên quan

 

YOMEDIA
1=>1
Array
(
    [0] => Array
        (
            [banner_picture] => 4_1603079338.jpg
            [banner_picture2] => 
            [banner_picture3] => 
            [banner_picture4] => 
            [banner_picture5] => 
            [banner_link] => https://tracnghiem.net/de-kiem-tra/?utm_source=Hoc247&utm_medium=Banner&utm_campaign=PopupPC
            [banner_startdate] => 2020-10-19 00:00:00
            [banner_enddate] => 2020-10-31 23:59:00
            [banner_embed] => 
            [banner_date] => 
            [banner_time] => 
        )

)