YOMEDIA
NONE

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P=\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2+z^2-2(2x+y-3)}}-\frac{1}{y(x-1)(z+1)}\)

Cho các số thực x, y, z  thỏa mãn x > 2, y > 1, z > 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
\(P=\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2+z^2-2(2x+y-3)}}-\frac{1}{y(x-1)(z+1)}\)

 

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Đặt a = x - 2, b = y - 1, c = z.
    Ta có a, b, c > 0 và \(P=\frac{1}{2\sqrt{a^2+b^2+c^2+1}}-\frac{1}{(a+1)(b+1)(c+1)}\)
    Ta có \(a^2+b^2+c^2+1\geq \frac{(a+b)^2}{2}+\frac{(c+1)^2}{2}\geq \frac{1}{4}(a+b+c+1)^2\)
    Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1
    Mặt khác \((a+1)(b+1)(c+1)\leq \frac{(a+b+c+3)^3}{27}\)
    Khi đó: \(P\leq \frac{1}{a+b+c+1}-\frac{27}{(a+b+c+1)^3}\). Dấu ''='' \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
    Đặt \(t=a+b+c+1\Rightarrow t>1\). Khi đó \(P\leq \frac{1}{t}-\frac{27}{(t+2)^3},t>1\)
    Xét hàm  \(f(t)=\frac{1}{t}-\frac{27}{(t+2)^3},t>1;f'(t)=-\frac{1}{t^2}-\frac{81}{(t+2)^4}\)
    \(f'(t)=0\Leftrightarrow (t+2)^4=81.t^2\Leftrightarrow t^2-5t+4=0\Leftrightarrow t=4(Do \ t>1)\)

    \(\lim_{t\rightarrow +\infty }f(t)=0\)
    Ta có BBT.

    Từ bảng biến thiên ta có
    \(maxf(t)=f(4)=\frac{1}{8}\Leftrightarrow t=4\)
    \(maxP=f(4)=\frac{1}{8}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=b=c=1\\ a+b+c=4 \end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow a=b=c=1\Leftrightarrow x=3;y=2;z=1\)
    Vậy giá trị lớn nhất của P là \(\frac{1}{8}\) , đạt được khi (x;y;z) = (3; 2; 1)

      bởi Mai Trang 09/02/2017
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

ZUNIA9
 

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF