YOMEDIA
NONE

CM P_0P_1.P_0P_2...P_0P_(n-1)=n biết P_OP_1...P_(n-1) là đa giác đều nội tiếp đường tròn R=1

Cho \(P_oP_1.....P_{n-1}\) là đa giác đều nội tiếp đường tròn bán kính 1. Chứng minh :

a) \(P_0P_1.P_0P_2.....P_0P_{n-1}=n\)

b) \(\sin\frac{\pi}{n}\sin\frac{2\pi}{n}......\sin\frac{\left(2n-1\right)\pi}{n}=\frac{1}{2^{n-1}}\)

c) \(\sin\frac{\pi}{2n}\sin\frac{3\pi}{2n}.......\sin\frac{\left(2n-1\right)\pi}{2n}=\frac{1}{2^{n-2}}\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • a) Giả sử các đỉnh đa giác là các điểm biểu diễn hình học các căn bậc n của đơn vị \(P_o=1\). Xét đa thức :

    \(f=z^n-1=\left(z-1\right)\left(z-\omega\right)........\left(z-\omega^{n-1}\right),\omega=\cos\frac{2\pi}{n}+i\sin\frac{2\pi}{n}\)

    Rõ ràng :

    \(n=f'\left(1\right)=\left(1-\omega\right)\left(1-\omega^2\right)...\left(1-\omega^{n-1}\right)\)

    Lấy Modun 2 vế ta được kết quả

    b) Ta có :

    \(1-\omega^k=1-\cos\frac{2k\pi}{n}-i\sin\frac{2k\pi}{n}=2\sin^2\frac{k\pi}{n}-2i\sin\frac{k\pi}{n}\cos\frac{k\pi}{n}\)

              \(=2\sin\frac{k\pi}{n}\left(\sin\frac{k\pi}{n}-i\cos\frac{k\pi}{n}\right)\)

    Do đó : \(\left|1-\omega^k\right|=2\sin\frac{k\pi}{n},k=1,2,....,n-1\)

    Sử dụng a) ta có điều phải chứng minh

    c) Xét đa giác đều \(Q_oQ_1.....Q_{2n-1}\) nội tiếp trong đường tròn, các đỉnh của nó là điểm biểu diễn hình học của \(\sqrt{n}\) của đơn vị.

    Theo a) \(Q_oQ_1.Q_oQ_2....Q_oQ_{2n-1}=2n\)

    Bây giờ xét đa giác đều \(Q_oQ_2....Q_{2n-1}\)  ta có \(Q_oQ_2.Q_oQ_4..Q_oQ_{2n-2}=n\)

    Do đó \(Q_oQ_1.Q_oQ_3..Q_oQ_{2n-1}=2\) Tính toán tương tự phần b) ta được

    \(Q_oQ_{2k-1}=2\sin\frac{\left(2k-1\right)\pi}{2n},k=1,2....n\) và ta có điều phải chứng minh

     

      bởi Nguyễn Mai 27/09/2018
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

ZUNIA9
 

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF