YOMEDIA
NONE

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn \(x+ y+z\geq 2\) và \(x^2+y^2+2z^2=4\)

Em sẽ rất biết ơn ai giải giúp em bài này!

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn \(x+ y+z\geq 2\) và \(x^2+y^2+2z^2=4\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
\(P=\frac{1}{(x+y+z)^2}-\frac{2}{2x+y+\sqrt{8yz}}\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • + Ta có \(4=x^2+y^2+2z^2=\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{1}+\frac{z^2}{\frac{1}{2}}\geq \frac{(x+y+z)^2}{1+1+\frac{1}{2}}=\frac{(x+y+z)^2}{\frac{5}{2}}\)
    \(\Rightarrow 4.\frac{5}{4}\geq (x+y+z)^2\leq 10\Rightarrow x+y+z\leq \sqrt{10}\)
    Đặt \(x+y+z=t\Rightarrow 2\leq t\leq \sqrt{10}\)
    + Ta có \(2x+y+\sqrt{8yz}=2x+y+2\sqrt{y.2z}\leq 2x+y+y+2z=2x+2y+2z\)
    \(\Rightarrow \frac{1}{2x+y+\sqrt{8yz}}\geq \frac{1}{2x+2y+2z}\Rightarrow \frac{-2}{2x+y+\sqrt{8yz}} \leq\) \(\frac{-2}{2x+2y+2z}=\frac{-1}{x+y+z}\)
    \(\Rightarrow P\leq \frac{1}{(x+y+z)^2}-\frac{1}{x+y+z}\)
    + Xét hàm số
    \(f(t)=\frac{1}{t^2}-\frac{1}{t},t\in [2;\sqrt{10}]\)
    \(\Rightarrow f'(t)=\frac{t-2}{t^3}\geq 0\forall t\in [2;\sqrt{10}]\)
    Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên \([2;\sqrt{10}]\Rightarrow f(t)\leq f(\sqrt{10})=\frac{1-\sqrt{10}}{10}\)
    + Vậy \(MaxP=\frac{1-\sqrt{10}}{10}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y=2z\\ x^2+y^2+2z^2=4 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y=\frac{2\sqrt{10}}{5}\\ \\ z=\frac{\sqrt{10}}{5} \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\)

      bởi Mai Anh 09/02/2017
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

ZUNIA9
 

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF