YOMEDIA
NONE

Cho \(x,y,z\in [0;2]\) thỏa mãn \(x+y+z=3\)

Cho \(x,y,z\in [0;2]\) thỏa mãn \(x+y+z=3\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
\(P=\frac{1}{x^2+y^2+2}+\frac{1}{y^2+z^2+2}+\frac{1}{z^2+x^2+2}+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Thuy Kim

    Ta có \(x^2+y^2+2=(x^2+1)+(y^2+1)\geq 2(x+y),...;\sqrt{xy}\leq \frac{xy+1}{2},...\)
     Nên \(P\leq \frac{1}{2}\left [ \frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x} +xy+yz+zx+3\right ]\)
    Ta có \((x+y+z)(xy+yz+zx)\geq 9xyz\)
    \(\Rightarrow (x+y)(y+z)(z+x)=(x+y+z)(xy+yz+zx)-zyz\)
    \(\geq \frac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+zx)\)
    \(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}=\frac{(x+y)(y+z)+(y+z)(z+x)+(x+y)(z+x)}{(x+y)(y+z)(z+x)}\)
                                             \(=\frac{(x+y+z)^2+xy+yz+zx}{(x+y)(y+z)(z+x)}\)

                                            \(\leq \frac{(x+y+z)^2+xy+yz+zx}{\frac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+zx)}\)


                                            \(=\frac{27}{8(xy+yz+zx)}+\frac{3}{8}\)
    Suy ra \(P\leq \frac{1}{2}\left [\frac{27}{8(xy+yz+zx)}+xy+yz+zx+\frac{27}{8} \right ]\)
    Đặt \(t=xy+yz+zx\)
    Do \(x,y,z\in [0;2]\Rightarrow (2-x)(2-y)(2-z)\geq 0\)
    \(\Leftrightarrow xy+yz+zx\geq \frac{4+xyz}{2}\geq 2\Rightarrow t\geq 2\)
    Mặt khác: \(xy+yz+zx\leq \frac{1}{3}(x+y+z)^2=3\Rightarrow t\leq 3\)
    Vậy \(t\in [2;3]\)
    Ta có \(P\leq \frac{1}{2}\left [ \frac{27}{8t}+t+\frac{27}{8} \right ]=f(t)\)

    Xét hàm số f(t) với \(t\in [0;2]\) ta có \(f'(t)=\frac{1}{2}\left [ t-\frac{27}{8t^2} \right ]=\frac{8t^3-27}{16t^2}>0 \ \forall t\in [2;3]\) nên hàm số f(t) đồng biến trên [2;3]
    \(\Rightarrow f(t)\leq f(3)=\frac{15}{4}\)
    Do \(P\leq f(t)\Rightarrow P\leq \frac{15}{4}\). Có \(P= \frac{15}{4}\) khi x = y = z = 1
    Vậy giá trị lớn nhất của P là \(\frac{15}{4}\) đạt được khi  x = y = z = 1



     

      bởi Thuy Kim 09/02/2017
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 12

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON