YOMEDIA
NONE

Cho tứ diện ABCD với AB = CD = c, AC = BD = b, AD = BC = a. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.

Cho tứ diện ABCD với AB = CD = c, AC = BD = b, AD = BC = a. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. 

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD.

    Ta có \(\Delta ABC = \Delta BAD\,\,\left( {c.c.c} \right) \) \(\Rightarrow CI = DI\)(2 trung tuyến tương ứng)

    \(\Delta CID\) cân tại I nên \(IJ \bot CD\).

    Do ∆CAD = ∆DBC (c.c.c) nên AJ = BJ hay tam giác ABJ cân tại J.

    Lại có CJ là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao.

    ⇒ IJ ⊥ AB

    Gọi O là trung điểm của IJ thì OA = OB và OC = OD.

    Vì AB = CD = c nên hai tam giác vuông OIB và OJC bằng nhau, do đó OB = OC.

    Vậy O cách đều bốn đỉnh A, B, C, D.

    Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tâm R = OA.

    Ta có: \(O{A^2} = O{I^2} + A{I^2} \) \(= {{I{J^2}} \over 4} + {{A{B^2}} \over 4} \) \(= {{I{J^2} + {c^2}} \over 4}\)

    Vì CI là trung tuyến của tam giác ABC nên \(C{I^2} = {{2{a^2} + 2{b^2} - {c^2}} \over 4}\)

    Suy ra \(I{J^2} = C{I^2} - C{J^2} \) \(= {{2{a^2} + 2{b^2} - {c^2}} \over 4} - {{{c^2}} \over 4} = {{{a^2} + {b^2} - {c^2}} \over 2}\)

    Như vậy \({R^2} = O{A^2} = {{{a^2} + {b^2} + {c^2}} \over 8}\) và diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là:

    \(S = 4\pi {R^2} = {\pi  \over 2}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\)

      bởi Duy Quang 07/06/2021
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON