YOMEDIA
NONE

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(SA\) vuông góc với đáy và \(AB = a, AD = b, SA =c\). Lấy các điểm \(B', D'\) theo thứ tự thuộc \(SB, SD\) sao cho \(AB'\) vuông góc với \(SB, AD'\) vuông góc với \(SD\). Mặt phẳng \((AB'D')\) cắt \(SC\) tại \(C'\). Tính thể tích khối chóp \(S.AB'C'D'\).

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(SA\) vuông góc với đáy và \(AB = a, AD = b, SA =c\). Lấy các điểm \(B', D'\) theo thứ tự thuộc \(SB, SD\) sao cho \(AB'\) vuông góc với \(SB, AD'\) vuông góc với \(SD\). Mặt phẳng \((AB'D')\) cắt \(SC\) tại \(C'\). Tính thể tích khối chóp \(S.AB'C'D'\). 

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Nguyễn Thanh Trà

    Ta có \(BC \bot AB,BC \bot SA \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\) \(\Rightarrow BC\bot AB'\)

    Theo giả thiết \(SB \bot AB'\) \(\Rightarrow AB' \bot (SBC) \Rightarrow AB' \bot SC\)         (1)

    Chứng minh tương tự ta có: \(AD' \bot SC\)(2)

    Từ (1) và (2) suy ra \(SC \bot (AB'C'D')\) hay \(SC' \bot (AB'C'D')\)

    Do đó \(SC'\) là đường cao của hình chóp \(S.AB'C'D'\).

    Từ \(AB' \bot (SBC)\) \( \Rightarrow AB' \bot B'C'\)

    Tương tự ta có: \(AD' \bot D'C'\)

    \( \Rightarrow {S_{AB'C'D'}} = {S_{AB'C'}} + {S_{AD'C'}} \)

    \(= \dfrac{1}{2}AB'.B'C' + \dfrac{1}{2}AD'.D'C'\) \( = \dfrac{1}{2}\left( {AB'.B'C' + AD'.D'C'} \right)\)

    Từ các kết quả trên, ta được:

    \(\displaystyle{V_{AB'C'D'}} = {1 \over 3}.SC'.{1 \over 2}(AB'.B'C' + AD'.D'C')\)

    \(\displaystyle ={1 \over 6}SC'.(AB'.B'C' + AD'.D'C')\)     (*)

    Ta tính các yếu tố trên.

    Tam giác vuông \(SAB\) có \(AB'\) là đường cao, nên ta có:

    \(\displaystyle{1 \over {AB{'^2}}} = {1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{c^2}}} \Rightarrow AB{'^2} = {{{a^2}{c^2}} \over {{a^2} + {c^2}}}\) \( \displaystyle \Rightarrow AB' = {{ac} \over {\sqrt {{a^2} + {c^2}} }}\)

    Tương tự, ta có:

    \(\displaystyle AD{'^2} = {{{b^2}{c^2}} \over {{b^2} + {c^2}}} \Rightarrow AD' = {{bc} \over {\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}\)

    Ta lại có: \(SC^2 = AC^2 + AS^2 = a^2 + b^2 + c^2 \Rightarrow SC = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \)

    Trong tam giác vuông \(SAC, AC'\) là đường cao

    \(\Rightarrow SC'.SC = SA^2\) \( \displaystyle \Rightarrow SC' = {{S{A^2}} \over {SC}} = {{{c^2}} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)

    \(∆SBC\) đồng dạng  \(∆SC'B'\) (g.g)\( \displaystyle \Rightarrow {{B'C'} \over {BC}} = {{SC'} \over {SB}}\) 

    \(\displaystyle \Rightarrow B'C' = {{SC'.BC} \over {SB}} = {{b{c^2}} \over {\sqrt {{a^2} + {c^2}} \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)

    Tương tự ta có:  \(\displaystyle D'C' = {{{c^2}a} \over {\sqrt {{b^2} + {c^2}} \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)

    Thay các kết quả này vào (*) ta được:

    \(\displaystyle V = {1 \over 6}.{{ab{c^5}({a^2} + {b^2} + 2{c^2})} \over {({a^2} + {c^2})({b^2} + {c^2})({a^2} + {b^2} + {c^2})}}\)

      bởi Nguyễn Thanh Trà 05/06/2021
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 12

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON