YOMEDIA
NONE

Cho a, b, c là ba số thực dương và thỏa mãn điều kiện \(\small 3(a^2+b^2+c^2)=1\)

Cho a, b, c là ba số thực dương và thỏa mãn điều kiện \(\small 3(a^2+b^2+c^2)=1\) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(\small Q=\sqrt{a^2+b^2+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}+\sqrt{b^2+c^2+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{a^2}}+\sqrt{c^2+a^2+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}\)
 

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • + Ta có \((a+b+c)^2\leq 3(a^2+b^2+c^2)=1\) suy ra \(a+b+c\leq 1\)
    + Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, ta có:
    \(\small \sqrt{2}Q=\sqrt{2(a^2+b^2)+2(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})}+\sqrt{2(b^2+c^2)+2(\frac{1}{c^2}+\frac{1}{a^2})}+\sqrt{2(c^2+a^2)+2(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2})}\)
    \(\small \geq \sqrt{(a+b)^2+(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2}+\sqrt{(b+c)^2+(\frac{1}{c}+\frac{1}{a})^2}+\sqrt{(c+a)^2+(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})^2}\)
    + Xét các véc tơ: \(\small \vec{x}=\left ( a+b;\frac{1}{b} +\frac{1}{c}\right );\vec{y}=\left ( b+c;\frac{1}{a} +\frac{1}{c}\right );\vec{z}=\left ( c+a;\frac{1}{a} +\frac{1}{b}\right )\)
    Ta có \(\small \vec{x}+\vec{y}+\vec{z}=(2(a+b+c);2\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} +\frac{1}{c} \right ))\) và \(\small \left | \vec{x} \right |+\left | \vec{y} \right |+\left | \vec{z} \right |\geq \left | \vec{x}+\vec{y}+\vec{z} \right |\)
    Khi đó \(\small \sqrt{2}Q\geq \sqrt{4(a+b+c)^2+4\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )^2}\geq 2\sqrt{(a+b+c)^2+\frac{81}{(a+b+c)^2}}\)
    + Đặt \(\small t=(a+b+c)^2\Rightarrow 0< t\leq 1\)
    Xét hàm \(\small f(t)=t+\frac{81}{t}\) với \(\small t\in (0;1 ]\). Ta có \(\small f'(t)=1-\frac{81}{t^2}< 0,\forall t\in (0;1]\)
    Suy ra f(t) là hàm nghịch biến trên \(\small (0;1]\Rightarrow f'(t)\geq f(1)=82\)
    \(\small \Rightarrow \sqrt{2}Q\geq 2\sqrt{82}\) hay \(\small Q\geq 2\sqrt{41}\)
    Dấu đẳng thức xảy ra \(\small \Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\). Vậy \(\small min Q=2\sqrt{41}\) khi \(\small a =b = c = \frac{1}{3}\)

      bởi Mai Anh 09/02/2017
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON