YOMEDIA
NONE

Áp dụng phương pháp tính tích phân từng phần, em hãy tính tích phân sau: \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {x\cos x{{\sin }^2}xdx} \)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Ánh tuyết

    \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {x\cos x{{\sin }^2}xdx} \)

    Đặt  \(u = x,dv = \cos x{\sin ^2}xdx\) \( \Rightarrow du = dx\). Ta tìm \(v = \int {\cos x{{\sin }^2}xdx} \).

    Đặt \(\sin x = t \Rightarrow dt = \cos xdx\)

    \( \Rightarrow \int {\cos x{{\sin }^2}xdx}  = \int {{t^2}dt} \) \( = \dfrac{{{t^3}}}{3} + C = \dfrac{{{{\sin }^3}x}}{3} + C\)

    Chọn \(v = \dfrac{{{{\sin }^3}x}}{3}\) ta có:

    \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {x\cos x{{\sin }^2}xdx} \)\( = \left. {\dfrac{{x{{\sin }^3}x}}{3}} \right|_0^{\dfrac{\pi }{2}} - \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{{{\sin }^3}x}}{3}dx} \) \( = \dfrac{\pi }{6} - \dfrac{1}{3}\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)\sin xdx} \) \( = \dfrac{\pi }{6} - \dfrac{1}{3}J\)

    Đặt \(\cos x = t \Rightarrow dt =  - \sin xdx\)

    \( \Rightarrow J = \int\limits_1^0 {\left( {1 - {t^2}} \right).\left( { - dt} \right)} \) \( = \int\limits_0^1 {\left( {1 - {t^2}} \right)dt} \) \( = \left. {\left( {t - \dfrac{{{t^3}}}{3}} \right)} \right|_0^1 = \dfrac{2}{3}\)

    Vậy \(I = \dfrac{\pi }{6} - \dfrac{1}{3}J\) \( = \dfrac{\pi }{6} - \dfrac{1}{3}.\dfrac{2}{3} = \dfrac{\pi }{6} - \dfrac{2}{9}\).

      bởi Ánh tuyết 26/04/2022
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 12

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF