YOMEDIA
NONE
  • Câu hỏi:

    Xét các số thực dương x;y thỏa mãn \({\log _3}\frac{{1 - y}}{{x + 3xy}} = 3xy + x + 3y - 4\). Tìm giá trị nhỏ nhất \({P_{\min }}\) của biểu thức \(P = x + y\).

    • A. \({P_{\min }} = \frac{{4\sqrt 3  - 4}}{3}\)
    • B. \({P_{\min }} = \frac{{4\sqrt 3  + 4}}{3}\)
    • C. \({P_{\min }} = \frac{{4\sqrt 3  + 4}}{9}\)
    • D. \({P_{\min }} = \frac{{4\sqrt 3  - 4}}{9}\)

    Lời giải tham khảo:

    Đáp án đúng: A

    ĐK: \(\frac{{1 - y}}{{x + 3xy}} > 0 \Rightarrow y < 1\,\left( {x;y > 0} \right)\) 

    Ta có

    \(\begin{array}{l}
    {\log _3}\frac{{1 - y}}{{x + 3xy}} = 3xy + x + 3y - 4\\
     \Leftrightarrow {\log _3}\left( {1 - y} \right) - {\log _3}\left( {x + 3xy} \right) = x + 3xy + 3\left( {y - 1} \right) - 1\\
     \Leftrightarrow {\log _3}\left( {1 - y} \right) + 3\left( {1 - y} \right) = {\log _3}\frac{{\left( {x + 3xy} \right)}}{3} + \left( {x + 3xy} \right)\left( * \right)
    \end{array}\) 

    Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _3}t + 3t\,\left( {t > 0} \right)\) có \(f'\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 3}} + 3 > 0;\forall t > 0\) nên hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) 

    Kết hợp (*) suy ra \(f\left( {1 - y} \right) = f\left( {\frac{{x + 3xy}}{3}} \right) \Leftrightarrow \frac{{x + 3xy}}{3} = 1 - y\) 

    \( \Leftrightarrow x + 3xy = 3 - 3y \Leftrightarrow x + 3xy + 3y - 3 = 0(**)\) 

    Xét \(P = x + y \Rightarrow x = P - y\) thay vào (**) ta được

    \(P - y + 3\left( {P - y} \right)y + 3y - 3 = 0 \Leftrightarrow P(3y + 1) = 3{y^2} - 2y + 3\) 

    Ta tìm giá trị nhỏ nhất của \(g\left( y \right) = \frac{{3{y^2} - 2y + 3}}{{3y + 1}}\) trên (0;1) 

    Ta có \(g'\left( y \right) = \frac{{\left( {6y - 2} \right)\left( {3y + 1} \right) - 3\left( {3{y^2} - 2y + 3} \right)}}{{{{\left( {3y + 1} \right)}^2}}} = \frac{{9{y^2} + 6y - 11}}{{{{\left( {3y + 1} \right)}^2}}}\) 

    Giải phương trình \(g'\left( y \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    y = \frac{{ - 1 + 2\sqrt 3 }}{3} \in \left( {0;1} \right)\\
    y = \frac{{ - 1 - 2\sqrt 3 }}{3} \notin \left( {0;1} \right)
    \end{array} \right.\) 

    Lại có \(g'\left( y \right) < 0\,\forall y \in \left( {0;\frac{{ - 1 + 2\sqrt 3 }}{3}} \right)\) và \(g'\left( y \right) > 0\,\forall y \in \left( {\frac{{ - 1 + 2\sqrt 3 }}{3};1} \right)\) 

    Hay \(g'(y)\) đổi dấu từ âm sang dương tại \(y = \frac{{ - 1 + 2\sqrt 3 }}{3}\) nên

    \(\mathop {\min }\limits_{\left( {0;1} \right)} g\left( y \right) = g\left( {\frac{{ - 1 + 2\sqrt 3 }}{3}} \right) = \frac{{4\sqrt 3  - 4}}{3} \Rightarrow {P_{\min }} = \frac{{4\sqrt 3  - 4}}{3}\) 

    ADSENSE

Mã câu hỏi: 89352

Loại bài: Bài tập

Chủ đề :

Môn học: Toán Học

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

 
YOMEDIA

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC

ZUNIA9
 

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF