YOMEDIA
NONE
  • Câu hỏi:

    Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo  hàm liên tục trên đoạn [- 2;1] thỏa mãn \(f(0=1\) và \({\left( {f\left( x \right)} \right)^2}.f'\left( x \right) = 3{x^2} + 4x + 2.\) Giá trị lớn nhất của hàm số \(y=f(x)\) trên đoạn [- 2;1] là:

    • A. \(2\sqrt[3]{{16}}\)
    • B. \(\sqrt[3]{{18}}\)
    • C. \(\sqrt[3]{{16}}\)
    • D. \(2\sqrt[3]{{18}}\)

    Lời giải tham khảo:

    Đáp án đúng: C

    Ta có \({\left( {f\left( x \right)} \right)^2}.f'\left( x \right) = 3{x^2} + 4x + 2 \Rightarrow \int {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2}.f'\left( x \right)dx}  = \int {\left( {3{x^2} + 4x + 2} \right)dx} \) 

    \(\begin{array}{l}
     \Leftrightarrow \int {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2}d\left( {f\left( x \right)} \right)}  = {x^3} + 2{x^2} + 2x + C \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^3}}}{3} = {x^3} + 2{x^2} + 2x + C\\
     \Leftrightarrow {\left( {f\left( x \right)} \right)^3} = 3{x^3} + 6{x^2} + 6x + 3C
    \end{array}\) 

    Ta có: \(f\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow 1 = 3C \Rightarrow {\left( {f\left( x \right)} \right)^3} = 3{x^3} + 6{x^2} + 6x + 1\) 

    \( \Rightarrow f\left( x \right) = \sqrt[3]{{3{x^3} + 6{x^2} + 6x + 1}}\) 

    Xét hàm \(f\left( x \right) = \sqrt[3]{{3{x^3} + 6{x^2} + 6x + 1}}\) trên [- 2;1] 

    Ta có

    \(f'\left( x \right) = \frac{1}{3}\left( {9{x^2} + 12x + 6} \right)\sqrt[3]{{{{\left( {3{x^3} + 6{x^2} + 6x + 1} \right)}^2}}}\) 

    \(\begin{array}{l}
     = \left( {3{x^2} + 4x + 2} \right)\sqrt[3]{{{{\left( {3{x^3} + 6{x^2} + 6x + 1} \right)}^2}}}\\
     = 3\left( {{x^2} + \frac{4}{3}x + \frac{4}{9} + \frac{2}{9}} \right)\sqrt[3]{{{{\left( {3{x^3} + 6{x^2} + 6x + 1} \right)}^2}}}\\
     = 3\left[ {{{\left( {x + \frac{2}{3}} \right)}^2} + \frac{2}{9}} \right]\sqrt[3]{{{{\left( {3{x^3} + 6{x^2} + 6x + 1} \right)}^2}}}
    \end{array}\) 

    Nhận thấy \('\left( x \right) > 0\,\forall x \in R \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên (- 2;1) 

    Suy ra \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;1} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = \sqrt[3]{{16}}\) 

    ADSENSE

Mã câu hỏi: 89339

Loại bài: Bài tập

Chủ đề :

Môn học: Toán Học

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

 
YOMEDIA

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC

ZUNIA9
 

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF