Số các giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { - 2019;2019} \right]\) để hàm số \(y = \frac{{\left( {m + 1} \right){x^2

ĐK: \(x \ne 1\) 

Ta có \(y' = \frac{{\left[ {2\left( {m + 1} \right)x - 2m} \right].\left( {x - 1} \right) - \left( {m + 1} \right){x^2} + 2mx - 6m}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\) 

\(\begin{array}{l}
 = \frac{{2\left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x - 2mx + 2m - \left( {m + 1} \right){x^2} + 2mx - 6m}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\\
 = \frac{{\left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x - 4m}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}
\end{array}\) 

Để hàm số đồng biến trên \(\left( {4; + \infty } \right)\) thì \(y' \ge 0;\forall x > 4\) 

\( \Rightarrow \left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x - 4m \ge 0;\forall x > 4\) 

\( \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right)\left( {{x^2} - 2x} \right) \ge 4m;\forall x > 4\) 

+ Với \(m + 1 = 0 \Leftrightarrow m =  - 1 \Rightarrow 0 >  - 4\,\) (luôn đúng) nên nhận \(m =  - 1.\left( 1 \right)\) 

+ Với \(m + 1 > 0 \Leftrightarrow m >  - 1 \Rightarrow {x^2} - 2x \ge \frac{{4m}}{{m + 1}};\forall x > 4 \Leftrightarrow \frac{{4m}}{{m + 1}} \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {4; + \infty } \right)} \left( {{x^2} - 2x} \right)\) 

Xét hàm số \(g\left( x \right) = {x^2} - 2x\) có \(g'\left( x \right) = 2x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \notin \left( {4; + \infty } \right)\), ta có BBT trên \(\left( {4; + \infty } \right)\) là

Từ BBT suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{4m}}{{m + 1}} \le 8\\
m >  - 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4m \le 8m + 8\\
m >  - 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ge  - 2\\
m >  - 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow m >  - 1\left( 2 \right)\) 

+ Với \(m + 1 < 0 \Leftrightarrow m <  - 1 \Rightarrow {x^2} - 2x \le \frac{{4m}}{{m + 1}};\forall x > 4 \Rightarrow \frac{{4m}}{{m + 1}} \ge \mathop {\max }\limits_{\left( {4; + \infty } \right)} g\left( x \right)\) 

Từ BBT của g(x) suy ra không có m thỏa mãn.

Từ (1) và (2) suy ra \(m \ge  - 1\) mà \(m \in \left[ { - 2019;2019} \right]\) và m nguyên nên \(m \in \left\{ { - 1;0;...;2019} \right\}\) \( \Rightarrow \) có 2021 số thỏa mãn.