YOMEDIA
NONE
  • Câu hỏi:

    Cho một miếng tôn hình tròn tâm O, bán kính R. Cắt bỏ một phần miếng tôn theo một hình quạt OAB và gò phần còn lại thành một hình nón đỉnh O không có đáy (OA trùng với OB). Gọi S và S ' lần lượt là diện tích của miếng tôn hình tròn ban đầu và diện tích của miếng tôn còn lại. Tìm tỉ số \(\frac{{S'}}{S}\) để thể tích của khối nón đạt giá trị lớn nhất.

    • A. \(\frac{{\sqrt 2 }}{3}\)
    • B. \(\frac{1}{4}\)
    • C. \(\frac{1}{3}\)
    • D. \(\frac{{\sqrt 6 }}{3}\)

    Lời giải tham khảo:

    Đáp án đúng: D

    Diện tích hình tròn \(S = \pi {R^2}\) 

    Gọi bán kính đường tròn đáy hình nón là \(r\left( {0 < r < R} \right)\) ta có

    \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi {r^2}\sqrt {{R^2} - {r^2}} \) 

    Xét hàm \(f\left( r \right) = {r^2}\sqrt {{R^2} - {r^2}} \) có

    \(f'\left( r \right) = 2r\sqrt {{R^2} - {r^2}}  + {r^2}.\frac{{ - r}}{{\sqrt {{R^2} - {r^2}} }} = \frac{{2r\left( {{R^2} - {r^2}} \right) - {r^3}}}{{\left( {{R^2} - {r^2}} \right)\sqrt {{R^2} - {r^2}} }} = \frac{{r\left( {2{R^2} - 3{r^2}} \right)}}{{\left( {{R^2} - {r^2}} \right)\sqrt {{R^2} - {r^2}} }}\) 

    \(f'\left( r \right) = 0 \Leftrightarrow r = \frac{{R\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\,\left( {do\,0 < r < R} \right)\):

    Bảng biến thiên:

    Do đó thể tích V đạt GTLN tại \(r = \frac{{R\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\). Khi đó \(S' = {S_{xq}} = \pi rl = \pi .\frac{{R\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}.R = \frac{{\pi {R^2}\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\) 

    Vậy \(\frac{{S'}}{S} = \frac{{\pi {R^2}\sqrt 2 }}{3}:\pi {R^2} = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\) 

    ATNETWORK

Mã câu hỏi: 89320

Loại bài: Bài tập

Chủ đề :

Môn học: Toán Học

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

 
YOMEDIA

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 12

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON