Xét các số phức \(z=a+bi,\,\,\left( a,\,\,b\in \mathbb{R} \right)\) thỏa mãn \(\left| z-2+3i \right|=4\) và \(\left| z+1-4i \right|+\left| z-9 \right|\) đạt giá trị lớn nhất.

Đặt \({{z}_{1}}=-1+4i,\,\,{{z}_{2}}=9\).

Gọi \(M,\,\,B,\,\,C\) lần lượt là điểm biểu diễn các số phức \(z,\,\,{{z}_{1}}\) và \({{z}_{2}}\).

Khi đó \(M\left( a;b \right),\,\,B\left( -1;4 \right)\) và \(C\left( 9;0 \right)\).

Gọi \(H\) là trung điểm \(BC\) thì \(H\left( 4;2 \right)\).

Ta có \(\left| z-2+3i \right|=4\Leftrightarrow {{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b+3 \right)}^{2}}=16\) nên \(M\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(I\left( 2;-3 \right)\), bán kính \(R=4\).

Dễ thấy \(IB>R,\,\,IC>R\) nên hai điểm \(B,\,\,C\) đều nằm ngoài đường tròn \(\left( C \right)\).

Do \(\overrightarrow{IH}=\left( 2;5 \right),\,\,\overrightarrow{BC}=\left( 10;-4 \right)\) nên \(\overrightarrow{IH}.\overrightarrow{BC}=0\)

Suy ra \(I\) thuộc trung trực \(BC\).

Do đó, nếu \(IH\) cắt \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\) sao cho \(I\) nằm giữa \(M\) và \(H\) thì \(MB+MC\) lớn nhất.

Vì với mọi điểm \(N\) khác \(M\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) thì

\(NB+NC\le \sqrt{2\left( N{{B}^{2}}+N{{C}^{2}} \right)}=\sqrt{2\left( 2N{{H}^{2}}+\frac{B{{C}^{2}}}{2} \right)}=\sqrt{4N{{H}^{2}}+B{{C}^{2}}}\).

Chú ý rằng \(MB+MC=2\sqrt{M{{H}^{2}}+{{\left( \frac{BC}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{4M{{H}^{2}}+B{{C}^{2}}}>\sqrt{4N{{H}^{2}}+B{{C}^{2}}}\)

nên \(MB+MC>NB+NC\).

Vậy điểm \(M\) thỏa mãn \(\overrightarrow{IM}=-\frac{R}{IH}.\overrightarrow{IH}\) (1)

trong đó \(\overrightarrow{IM}=\left( a-2;b+3 \right),\,\,\overrightarrow{IH}=\left( 2;5 \right),\,\,R=4,\,\,IH=\sqrt{29}\).

Do đó (1) tương với

\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} a - 2 = \frac{{ - 4}}{{\sqrt {29} }}.2\\ b + 3 = \frac{{ - 4}}{{\sqrt {29} }}.5 \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5a = 10 - \frac{{40}}{{\sqrt {29} }}\\ 2b = - 6 - \frac{{40}}{{\sqrt {29} }} \end{array} \right.\\ \Rightarrow 5a - 2b = 16 \end{array}\)

Vậy \(5a-2b=16\).