Có bao nhiêu số nguyên \(a\) để phương trình \({{z}^{2}}-\left( a-3 \right)z+{{a}^{2}}+a=0\)

Chọn A

Trường hợp 1: Hai nghiệm là hai số phức \({{z}_{1}}\) và \({{z}_{2}}\) có phần ảo khác không

Để phương trình bậc hai với hệ số thực có hai nghiệm phức có phần ảo khác không khi \(\Delta ={{\left( a-3 \right)}^{2}}-4\left( {{a}^{2}}+a \right)<0\)\( \Leftrightarrow -3{{a}^{2}}-10a+9<0\)

\(\Leftrightarrow a\in \left( -\infty ;\frac{-2\sqrt{13}-5}{3} \right)\cup \left( \frac{2\sqrt{13}-5}{3};+\infty  \right)\).

Giả sử \({{z}_{1}}=\frac{-b-i\sqrt{\left| \Delta  \right|}}{2}\); \({{z}_{2}}=\frac{-b+i\sqrt{\left| \Delta  \right|}}{2}\)

Ta có \(\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\)\( \Leftrightarrow \left| a-3 \right|=\sqrt{\left| -3{{a}^{2}}-10a+9 \right|}\)

\(\Leftrightarrow {{\left( a-3 \right)}^{2}}=\left| -3{{a}^{2}}-10a+9 \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{align} & a=-9 \\ & a=\pm 1 \\ & a=0 \\ \end{align} \right.\)

so với điều kiện ta nhận được \(a=-9\); \(a=1\).

Trường hợp 2: Hai nghiệm là hai số thực \({{z}_{1}}\) và \({{z}_{2}}\).

\(\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\)\( \Leftrightarrow {{S}^{2}}={{S}^{2}}-4P\)\( \Leftrightarrow P=0\).

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & a=0 \\ & a=-1 \\ \end{align} \right.\)

Thử lại thỏa mãn.