Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=24\) cắt mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x+y=0\) theo giao tuyến là đường tròn

Chọn B

Ta có: Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( 0;2;-3 \right)\).

Gọi \({A}'\) là hình chiếu của \(A\) trên mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\)

Ptđt \(\left( AA' \right):\)\(\left\{ \begin{align} & x=6+t \\ & y=-10+t \\ & z=3 \\ \end{align} \right.\)

Ta có \(A'=AA'\cap \left( \alpha  \right)\)

\(\Rightarrow 6+t-10+t=0\Rightarrow t=2\Rightarrow A'\left( 8;-8;3 \right)\)

Gọi \({I}'\) là hình chiếu của \(I\) trên mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) suy ra \({I}'\) là tâm của đường tròn \(\left( C \right)\)

Làm tương tự như cách tìm tọa độ \({A}'\), ta có \({I}'\left( -1;1-3 \right)\)

Ta có \(A{{M}^{2}}=A{{{A}'}^{2}}+{A}'{{M}^{2}}\) vì \(A{A}'\) không đổi nên \(AM\) lớn nhất khi \({A}'M\) lớn nhất, từ đó suy ra \({A}',M,{I}'\) thẳng hàng và \({I}'\) nằm giữa \({A}'\) và \(M\).

Ta có

\(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\begin{align} & {I}'I=\sqrt{2};\,{A}'{I}'=3\sqrt{22} \\ & {{R}_{(C)}}=\sqrt{22} \\ \end{align}\)

\(\Rightarrow {A}'M=4\sqrt{22}\)

\(\begin{array}{l} \overrightarrow {A'M} = \frac{4}{3}\overrightarrow {A'I'} \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_M} - {x_{A'}} = \frac{4}{3}\left( {{x_I} - {x_{A'}}} \right)\\ {y_M} - {y_{A'}} = \frac{4}{3}\left( {{y_I} - {y_{A'}}} \right)\\ {z_M} - {z_{A'}} = \frac{4}{3}\left( {{z_I} - {z_{A'}}} \right) \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_M} = - 4\\ {y_M} = 4\\ {z_M} = - 5 \end{array} \right.\\ \end{array}\)