Biết khoảng (a;b) là tập hợp tất cả các giá trị dương của tham số m để phương trình

Chọn C

Ta có

\(\begin{array}{l} \left( 1 \right) \Leftrightarrow {\log _3}\left( {2{{\rm{x}}^2} - x + 2m - 4{m^2}} \right) = {\log _3}\left( {{x^2} + mx - 2{m^2}} \right)\\ {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} - \left( {1 + m} \right)x + 2m - 2{m^2} = 0{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( 2 \right)\\ {x^2} + mx - 2{m^2} > 0{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( 3 \right) \end{array} \right. \end{array}\)

(2) có hai nghiệm là \({{x}_{1}}=2m\,;{{x}_{2}}=1-m\)

Từ điều kiện \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}>1\Leftrightarrow 5{{m}^{2}}-2m>0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m<0 \\ & m>\frac{2}{5} \\ \end{align} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\)

\({{x}_{1}};{{x}_{2}}\) thỏa (3)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4{m^2} + 2{m^2} - 2{m^2} > 0\\ {\left( {1 - m} \right)^2} + m\left( {1 - m} \right) - 2{m^2} > 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ - 1 < m < \frac{1}{2} \end{array} \right.{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( {**} \right) \end{array}\)

Từ (*) và (**) suy ra \(-1<m<0\) hoặc \(\frac{2}{5}<m<\frac{1}{2}\).

Vì khoảng (a;b) là tập hợp tất cả các giá trị dương của tham số m nên \(\left( a;b \right)=\left( \frac{2}{5};\frac{1}{2} \right)\)

Suy ra \(a=\frac{2}{5};b=\frac{1}{2}\). Vậy \(K=5.\frac{2}{5}+2.\frac{1}{2}=3\).