Cho hàm số \(f\left( x \right)\) nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên \(\left[ 1;\ e \right]\). Biết \(f\left( 1 \right)=1\)

Chọn B

Với \(x\in \left[ 1;e \right]\) :

\(x.f\left( x \right).{f}'\left( x \right)={{x}^{2}}+{{f}^{2}}\left( x \right)\)\( \Leftrightarrow 2{{x}^{2}}.f\left( x \right).{f}'\left( x \right)-2x.{{f}^{2}}\left( x \right)=2{{x}^{3}}\)

\(\Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}.{{\left( {{f}^{2}}\left( x \right) \right)}^{\prime }}-{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{\prime }}{{f}^{2}}\left( x \right)}{{{x}^{4}}}=\frac{2}{x}\)\( \Leftrightarrow {{\left( \frac{{{f}^{2}}\left( x \right)}{{{x}^{2}}} \right)}^{\prime }}=\frac{2}{x}\text{ }\)

\(\Leftrightarrow \int{{{\left( \frac{{{f}^{2}}\left( x \right)}{{{x}^{2}}} \right)}^{\prime }}dx}=\int{\frac{2}{x}dx}\)\( \Leftrightarrow \frac{{{f}^{2}}\left( x \right)}{{{x}^{2}}}=2\ln \left| x \right|+C\).

Thay \(x=1\) và chú ý \(f\left( 1 \right)=1\) ta được \(\frac{{{f}^{2}}\left( 1 \right)}{{{1}^{2}}}=2\ln \left| 1 \right|+C\)\( \Leftrightarrow C=1.\)

Do đó, trên \(\left[ 1;\ e \right]\): \(\frac{{{f}^{2}}\left( x \right)}{{{x}^{2}}}=2\ln \left| x \right|+1\)\( \Leftrightarrow {{f}^{2}}\left( x \right)={{x}^{2}}\left( 2\ln x+1 \right)\)\( \Leftrightarrow f\left( x \right)=x\sqrt{2\ln x+1}.\)

Và \(I=\int\limits_{1}^{e}{\frac{f\left( x \right)}{{{x}^{2}}}dx}\)\( =\int\limits_{1}^{e}{\frac{\sqrt{2\ln x+1}}{x}}dx\)\( =\int\limits_{1}^{e}{\sqrt{2\ln x+1}d\left( \ln x \right)}\)\( =\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{2t+1}dt}\)

Đặt \(u=\sqrt{2t+1}\Rightarrow {{u}^{2}}=2t+1\)\( \Rightarrow 2udu=2dt\) nên \(I=\int\limits_{1}^{\sqrt{3}}{{{u}^{2}}du=\frac{3\sqrt{3}-1}{3}.}\)