Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có \(AB=A{A}'=2a\), \(AC=a\), \(\widehat{BAC}=120{}^\circ \). Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(A.BC{C}'{B}'\) bằng

Câu hỏi:
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có \(AB=A{A}'=2a\), \(AC=a\), \(\widehat{BAC}=120{}^\circ \). Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(A.BC{C}'{B}'\) bằng
- A. \(\frac{\sqrt{30}a}{3}\).
- B. \(\frac{\sqrt{10}a}{3}\).
- C. \(\frac{\sqrt{30}a}{10}\).
- D. \(\frac{\sqrt{33}a}{3}\).
Lời giải tham khảo:

Đáp án đúng: A
Chọn A

Gọi \({O}'\) là tâm hình chữ nhật \(BC{C}'{B}'\). Từ \({O}'\) kẻ đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với \(\left( BC{C}'{B}' \right)\) thì \(\Delta \) là trục đường tròn ngoại tiếp \(BC{C}'{B}'\).

Gọi \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\). Từ \(O\) kẻ đường thẳng \({\Delta }'\) vuông góc với \(\left( ABC \right)\) (song song với \(B{B}'\)), cắt \(\Delta \) tại \(I\).

Khi đó \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp \(A.BC{C}'{B}'\), bán kính mặt cầu ngoại tiếp là \(R=IA\).

Xét tam giác \(IOA\) vuông tại \(O\) (vì \(IO\bot \left( ABC \right)\)) nên \(IA=\sqrt{I{{O}^{2}}+O{{A}^{2}}}\).

Trong đó \(IO={O}'M=\frac{1}{2}B{B}'=\frac{1}{2}A{A}'=a\), với \(M\) là trung điểm \(BC\);

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\)

\(O{{A}^{2}}=\frac{B{{C}^{2}}}{4{{\sin }^{2}}\widehat{BAC}}\)\( =\frac{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-2AB\cdot AC\cdot \cos \widehat{BAC}}{4{{\sin }^{2}}\widehat{BAC}}\)\( =\frac{4{{a}^{2}}+{{a}^{2}}-2\cdot 2a\cdot a\cdot \cos 120{}^\circ }{4{{\sin }^{2}}120{}^\circ }\)\( =\frac{7{{a}^{2}}}{3}\).

Suy ra \(IA=\sqrt{I{{O}^{2}}+O{{A}^{2}}}\)\( =\sqrt{{{a}^{2}}+\frac{7{{a}^{2}}}{3}}\)\( =\frac{\sqrt{30}a}{3}\).

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi HOC247 cung cấp đáp án và lời giải

ADSENSE