Cho hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm số đa thức bậc bốn. Biết \(f\left( 0 \right)=0\) và đồ thị hàm số \(y={f}'\left( x \right)\) có hình vẽ bên dưới.

Chọn D

Đồ thị đã cho là đồ thị hàm số bậc ba có hai điểm cực trị \(x=0\) và \(x=2\) nên có dạng \({f}'\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\).

Lần lượt thay thế các dữ kiện từ hình vẽ, ta được

\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} d = 2\\ c = 0\\ 3 \cdot a \cdot {2^2} + 2 \cdot b \cdot 2 = 0\\ - {a^3} + b + d = - 2 \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 1\\ b = - 3\\ c = 0\\ d = 2 \end{array} \right. \end{array}\)

Suy ra \({f}'\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2\)\( \Rightarrow f\left( x \right)=\frac{{{x}^{4}}}{4}-{{x}^{3}}+2x+C\).

Mà \(f\left( 0 \right)=0\)\( \Rightarrow C=0\Rightarrow f\left( x \right)=\frac{{{x}^{4}}}{4}-{{x}^{3}}+2x\).

Ta có \({f}'\left( x \right)=0\) 

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1 \\ & x=1-\sqrt{3} \\ & x=1+\sqrt{3} \\ \end{align} \right.\)

Suy ra bảng biến thiên

Từ đó ta có bảng biến thiên của \(f\left( x-1 \right)\)

Vì \(-1\le \sin x\le 1,\forall x\in \left[ 0;3\pi\right]\) nên \(0\le \left| 2\sin x-1 \right|\le 3\).

Đặt \(t=\left| 2\sin x-1 \right|\), \(t\in \left[ 0;3 \right]\)

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra phương trình \(f\left( t-1 \right)=m\) có tối đa \(2\) nghiệm \(t=h\), \(t=k\).

Do đó

\(\begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} 2\sin x - 1 = \pm h\\ 2\sin x - 1 = \pm k \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x = \frac{{ \pm h + 1}}{2}\\ \sin x = \frac{{ \pm k + 1}}{2} \end{array} \right. \end{array}\)

Trên \(\left[ 0;3\pi\right]\), mỗi phương trình có nhiều nhất \(4\) nghiệm, do đó phương trình đã cho có nhiều nhất \(16\) nghiệm.