Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):ax+by+cz+7=0\)

Chọn C

Do mặt phẳng \(\left( P \right)\) qua điểm \(A\left( 2;0;1 \right)\) nên ta có: \(2a+c=-7\Leftrightarrow c=-2a-7\,\,\,\left( 1 \right)\).

Mặt phẳng \(\left( P \right),\,\,\left( Q \right),\,\,\left( R \right)\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là:

\(\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left( a;b;c \right),\,\,\overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left( 3;-1;1 \right),\,\,\overrightarrow{{{n}_{3}}}=\left( 1;-1;2 \right)\).

Do mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right)\) nên ta có:

\(\overrightarrow{{{n}_{1}}}.\overrightarrow{{{n}_{2}}}=0\Leftrightarrow 3a-b+c=0\Leftrightarrow b=3a+c\Leftrightarrow b=a-7\,\,\,\left( 2 \right)\).

Do mặt phẳng \(\left( P \right)\) tạo với mặt phẳng \(\left( R \right)\) một góc \({{60}^{\text{o}}}\) nên ta có:

\(\cos {{60}^{\text{o}}}=\frac{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}}.\overrightarrow{{{n}_{3}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{3}}} \right|}\)\( \Leftrightarrow \frac{\left| a-b+2c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}.\sqrt{6}}=\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow 2\left| a-b+2c \right|=\sqrt{6}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}\,\,\left( 3 \right)\).

Thay \(\left( 1 \right)\), \(\left( 2 \right)\) vào \(\left( 3 \right)\) ta có:

\(\begin{align} & 2\left| a-b+2c \right|=\sqrt{6}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}} \\ & \Leftrightarrow 2\left| a-a+7-4a-14 \right|=\sqrt{6}\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( a-7 \right)}^{2}}+{{\left( -2a-7 \right)}^{2}}} \\ \end{align}\)

\(\Leftrightarrow 2\left| -4a-7 \right|=\sqrt{6}\sqrt{6{{a}^{2}}+14a+98}\)

\(\Leftrightarrow 28{{a}^{2}}+140a-392=0\).

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & a=2 \\ & a=-7 \\ \end{align} \right.\)

Với \(a=2\Rightarrow b=-5,\,c=-11\Rightarrow a+b+c=-14\).

Với \(a=-7\Rightarrow b=-14,\,c=7\Rightarrow a+b+c=-14\).

Vậy \(a+b+c=-14\).