Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d: x+3/2=y+1/1=z/-1 lên mặt phẳng (P): x-3y+2z+6=0

Phương trình tham số của đường thẳng d là: \(\left\{ \begin{array}{l} x = - 3 + 2t\\ y = - 1 + t\\ z = - t \end{array} \right.\) 

Giao điểm (nếu có) của (P) và d là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l} x = - 3 + 2t\\ y = - 1 + t\\ z = - t\\ x - 3y + 2z + 6 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 1\\ y = 1\\ z = - 2 \end{array} \right.\)

Gọi (Q) là mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với (P)

(Q) có vectơ pháp tuyến \({\overrightarrow n _Q} = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{u_P}} } \right] = \left( { - 1; - 5; - 7} \right).\)

Đường thẳng \(\Delta\) là hình chiếu vuông góc của d lên (P) chính là giao tuyến của (P) và (Q).

Suy ra vectơ chỉ phương của \(\Delta\):

\(\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3}&2\\ { - 5}&{ - 7} \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1\\ { - 7}&{ - 1} \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 3}\\ { - 1}&{ - 5} \end{array}} \right|} \right) = \left( {31;5; - 8} \right)\)

PTTS của \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 31t\\ y = 1 + 5t\\ z = - 2 - 8t \end{array} \right.\left( {t \in\mathbb{R} } \right)\)