Tính tổng T của các giá trị nguyên của tham số m để phương trình \({e^x} + \left( {{m^2} - m} \right){e^{ - x}} = 2m\) có đ

\({e^x} + \left( {{m^2} - m} \right){e^{ - x}} = 2m \Leftrightarrow {e^{2x}} - 2m{e^x} + {m^2} - m = 0\)

Đặt \(t = {e^x}\left( {t > 0} \right),\) phương trình trở thành \({t^2} - 2mt + {m^2} - m = 0\) (*).

Ta có \(x < \frac{1}{{\log e}} \Leftrightarrow t = {e^x} < {e^{\frac{1}{{\log e}}}} = {e^{\ln 10}} = 10.\) 

Bài toán trở thành tìm điều kiện để phương trình (*) có 2 nghiệm thỏa mãn \(0 < {t_1} < {t_2} < 10.\) 

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta ' = {m^2} - {m^2} + m > 0\\
0 < S = 2m < 20\\
P = {m^2} - m > 0\\
\left( {{t_1} - 10} \right)\left( {{t_2} - 10} \right) > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > 0\\
0 < m < 10\\
\left[ \begin{array}{l}
m > 1\\
m < 0
\end{array} \right.\\
{m^2} - m - 10.2m + 100 > 0
\end{array} \right.\) 

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
1 < m < 10\\
{m^2} - 21m + 100 > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
1 < m < 10\\
\left[ \begin{array}{l}
m > \frac{{21 + \sqrt {41} }}{2}\\
m < \frac{{21 - \sqrt {41} }}{2}
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 < m < \frac{{21 - \sqrt {41} }}{2}\) 

Kết hợp điều kiện \(m \in Z \Rightarrow T = \left\{ {2;3;4;5;6;7} \right\}.\) 

Vậy tổng các phần tử của T bằng 27.