Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm trên R là \(f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right).

Bảng xét dấu \(f'(x)\)

Ta có: \(y = f\left( {{x^2} + 3x - m} \right) = g\left( x \right) \Rightarrow g'\left( x \right) = \left( {2x + 3} \right)f'\left( {{x^2} + 3x - m} \right)\) 

Để hàm số \(y=g(x)\) đồng biến trên \((0;2) \Rightarrow g'\left( x \right) \ge 0\forall x \in (0;2)\) và bằng 0 tại hữu hạn điểm.

Trên (0;2) ta có \(2x + 3 > 0\forall x \in (0;2) \Rightarrow g'\left( x \right) \ge 0\forall x \in (0;2) \Leftrightarrow f'\left( {{x^2} + 3x - m} \right) \ge 0\forall x \in (0;2)\) 

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} + 3x + m \ge 1\forall x \in (0;2)(1)\\
{x^2} + 3x + m \le  - 3\forall x \in (0;2)(2)
\end{array} \right.\) 

 \((1) \Leftrightarrow h\left( x \right) = {x^2} + 3x - 1 \ge  - m\forall x \in (0;2) \Leftrightarrow  - m \le \mathop {\min }\limits_{[0;2]} h(x)\)

Ta có \(h'\left( x \right) = 2x + 3 > 0\forall x \in (0;2) \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên

\(\begin{array}{l}
(0;2) \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{[0;2]} h\left( x \right) = h(0) =  - 1 \Leftrightarrow  - m \le  - 1 \Leftrightarrow m \ge 1\\
(2) \Leftrightarrow k\left( x \right) = {x^2} + 3x + 3 \le  - m\forall x \in (0;2) \Leftrightarrow  - m \ge \mathop {\max }\limits_{[0;2]} k(x)
\end{array}\) 

Ta có \(k'\left( x \right) = 2x + 3 > 0\forall x \in (0;2) \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên

\((0;2) \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{[0;2]} k(x) = k(2) = 13 \Leftrightarrow  - m \ge 13 \Leftrightarrow m \le  - 13\) 

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m \ge 1\\
m \le  - 13
\end{array} \right.\) Kết hợp điều kiện đề bài \( \Leftrightarrow 1 \le m \le 20 \Rightarrow \) Có 20 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài