Tính thể tích của khối tứ diện đều SABC biết bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là a

Gọi K là trung diểm của SA.

Trên SO lấy điểm I sao cho  \(KI \bot SA.\)

Do I thuộc SO nên IA=IB=IC (1)

Mặt khác tam giác SAI cân tại I nên IS=SA (2)

Từ (1) (2) suy ra: IA=IB=IC=IS vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Xét tam giác AOI vuông ở O

\(\begin{array}{l} A{I^2} = A{O^2} + I{O^2} = A{O^2} + {(SO - AI)^2}\\ \Rightarrow A{O^2} + S{O^2} - 2.SO.SA = 0\\ \Rightarrow S{A^2} - \frac{{2\sqrt 6 }}{3}.SA.a = 0\\ \Rightarrow SA = \frac{{2a\sqrt 6 }}{3} = AB = AC = BC = SB = SC\\ \Rightarrow SO = \frac{{4a}}{3} \end{array}\)

Vậy thể tích khối chóp đều SABC là:  
\({V_{SABC}} = \frac{1}{3}.SO.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}SO.\frac{1}{2}AB.AC.\sin {60^0} = \frac{{8{a^3}\sqrt 3 }}{{27}}.\)