Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, mặt bên (SAB) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy

Gọi D là trung điểm AB.

L và M lần lượt là tâm của tam giác đều SAB và ABC.

Từ M và L dựng đường thẳng vuông góc với (SAB) và (ABC) cắt nhau tại I. I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.

Do CD vuông góc với (SA) nên CD // IM . Tương tự AD song song với IL nên tứ giấc MILD là hình bình hành.

Suy ra: \(IM = DL = \frac{1}{3}CD = \frac{1}{3}\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}.\)  

Xét tam giác IMS vuông tại M có: \(IS = \sqrt {I{M^2} + M{S^2}} = \sqrt {\frac{5}{{12}}} a.\)  

\(S = 4\pi {R^2} = 4\pi \frac{5}{{12}}{a^2} = \frac{{5\pi {a^2}}}{3}.\)