Tính thể tích của khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’có cạnh BC=2a, góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A’BC) bằng 60 độ

Gọi H là hình chiếu của A trên \(BC \Rightarrow AH \bot BC.\)

Ta có \(AA' \bot (ABC) \Rightarrow AA' \bot BC\)và \(AH \bot BC \Rightarrow BC \bot (A'AH)\)

Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}(ABC) \cap (A'AH) = AH\\(A'BC) \cap (A'AH) = A'H\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {((ABC);(A'BC))} = \widehat {A'HA} = {60^0}.\)

Diện tích \(\Delta A'BC\) là \({S_{\Delta A'BC}} = \frac{1}{2}.A'H.BC \Rightarrow A'H = \frac{{2.{S_{\Delta A'BC}}}}{{BC}} = \frac{{4{a^2}}}{{2a}} = 2a.\)

Xét \(\Delta A'AH\) vuông tại A, có \(\sin \widehat {A'HA} = \frac{{AA'}}{{A'H}} \Rightarrow AA' = \sin {60^0}.2a = a\sqrt 3 .\)

Và \(AH = \sqrt {A'{H^2} - A'{A^2}}  = \sqrt {4{a^2} - {{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}}  = a \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}.AH.BC = {a^3}.\)

Vậy thể tích lăng trụ là \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{\Delta ABC}} = a.a{}^2\sqrt 3  = {a^3}\sqrt 3 .\)