Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi các đường y=2^x, y=-x+3, y=1

Pt hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y=2^x\) với đường thẳng y=1 là: \({2^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0.\)  

Pt hoành độ giao điểm của đường thẳng y=-x+3 với đường thẳng y=1 là: \(- x + 3 = 1 \Leftrightarrow x = 2.\)  

Pt hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số  và đường thẳng y=-x+3 là: \({2^x} = - x + 3 \Leftrightarrow x = 1.\) 

Ta có diện tích hình phẳng là phần tô đậm ở hình vẽ bên.

Khi đó: \(I = \int\limits_0^1 {\left( {{2^x} - 1} \right)dx} + \int\limits_1^2 {\left( { - x + 3 - 1} \right)dx}\)

\(= \left. {\left( {\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} - x} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {\frac{{ - {x^2}}}{2} + 2x} \right)} \right|_1^2 = \frac{1}{{\ln 2}} - 1 + \frac{1}{2} = \frac{1}{{\ln 2}} - \frac{1}{2}.\)