Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(x^3 - x\) và đồ thị hàm số \(y = x - x^2\)

Tìm hoành độ các giao điểm của hai đồ thị, ta có:

\(\begin{array}{l}
{x^3} - x = x - {x^2} \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} - 2x = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{x = 1}\\
{x =  - 2}
\end{array}} \right.\\
S = \int\limits_{ - 2}^0 {\left( {{x^3} + {x^2} - 2x} \right)dx} \\
\,\,\,\,\,\, + \int\limits_0^1 {\left( {2x - {x^2} - {x^3}} \right)dx} \\
 = \left. {\left( {\frac{1}{4}{x^4} + \frac{1}{3}{x^3} - {x^2}} \right)} \right|_{ - 2}^0\\
\,\,\,\, + \left( {{x^2} - \frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{4}{x^4}} \right) = \frac{{37}}{{12}}
\end{array}\)