Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = (x -1)e^{2x}\) ,trục tung và đường thẳng y = 0.

Tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị, ta có:

\(\left( {x - 1} \right){e^{2x}} = 0 \Rightarrow x = 1\)

Vậy thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay (H) quanh Ox được tính bởi

\(V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {x - 1} \right)}^2}{e^{4x}}dx} \)

Đặt \(u = (x - 1)^2, dv= e^{4x}dx\).

Ta có \(du = 2(x -1)dx\) và \(v = \frac{{{e^{4x}}}}{4}\)

Áp dụng công thức tích phân từng phần ta được

\(\begin{array}{l}
V = \pi [\left. {\frac{1}{4}{{\left( {x - 1} \right)}^2}{e^{4x}}} \right|_0^1\\
\,\,\,\,\,\, - \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {\left( {x - 1} \right){e^{4x}}dx} ]\\
 = \pi \left[ {\frac{{ - 1}}{4} - \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {\left( {x - 1} \right){e^{4x}}dx} } \right]
\end{array}\)

Đặt \(u_1 = x - 1, dv_1 = e^{4x}dx\)

Ta có \(du_1 = dx, v_1 = \frac{{{e^{4x}}}}{4}\)

\(\begin{array}{l}
V = \pi [ - \frac{1}{4} - \frac{1}{2}(\left. {(x - 1)\frac{1}{4}{e^{4x}}} \right|_0^1\\
\,\,\,\,\,\, - \int\limits_0^1 {\frac{1}{4}{e^{4x}}dx} )] = \pi \frac{1}{{32}}\left( {{e^4} - 13} \right)
\end{array}\)