Cho ba điểm A(1;1;1) B(1;2;1) C(4;1;-2) và mặt phẳng (P) x+y+z=0 tìm M để MA^2+MB^2+MC^2 đạt giá trị nhỏ nhất

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, ta có: \(G\left( {2;1;0} \right).\)

 Mặt khác: \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\,\,\left( 1 \right)\)           

Từ hệ thức (1) ta suy ra:

\(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\) đạt GTNN khi MG đạt GTNN hay M là hình chiếu vuông góc của G trên (P).

Gọi d là đường thẳng qua G và vuông góc với (P) nên d có phương là: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + t\\ y = 1 + t\\ z = t \end{array} \right.\) 

Tọa độ M là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + t\\ y = 1 + t\\ z = t\\ x + y + z = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t = - 1\\ x = 1\\ y = 0\\ z = - 1 \end{array} \right. \Rightarrow M\left( {1;0; - 1} \right).\)