Tìm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) là lớn nhất

Gọi I và R lần lượt là tâm và bán kính của mặt cầu.

Ta có: \(I( - 1;2; - 3)\), \(d\left( {I,(P)} \right) = \frac{{\left| {2.( - 1) - 3.2 + 6.3 - 72} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2} + {6^2}} }} = \frac{{62}}{7} > R = 7\). 

Vậy (P) và (S) không giao nhau.

Vậy: để khoảng cách từ \(M \in \left( S \right)\) đến (P) là lớn nhất thì M phải ở trên đường thẳng d đi qua tâm I của mặt cầu (S) và vuông góc với mặt phẳng (P).

Mặt phẳng (P) có VTPT \(\overrightarrow n = \left( {2; - 3;6} \right)\)  

Đường thẳng d đi qua I nhận \(\overrightarrow u = \overrightarrow n = \left( {2; - 3;6} \right)\) làm VTPT nên có phương trình là:

\(\left\{ \begin{array}{l} x = - 1 + 2t\\ y = 2 - 3t\\ z = - 3 + 6t \end{array} \right.\)

Tọa độ giao điểm của mặt cầu (S) và đường thẳng d là nghiệm của hệ phương trình:

\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x = - 1 + 2t\\ y = 2 - 3t\\ z = - 3 + 6t\\ {(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 49 \end{array} \right.\\ \Rightarrow t = \pm 1 \end{array}\)

Với t=1  ta có \(M(1; - 1;3) \Rightarrow {d_1} = d(M,(P)) = 1\) 

Với t=-1 ta có  \(M( - 3;5; - 9) \Rightarrow {d_2} = d(M,(P)) = 3\)

Theo đề bài ta chọn M(-3;5;-9)