Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số y=x^4-4(m-1)x^2+2m-1 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có một góc bằng 120 độ

Xét hàm số \(y = {x^4} - 4\left( {m - 1} \right){x^2} + 2m - 1\), ta có: \(y' = 4{{\rm{x}}^3} - 8\left( {m - 1} \right)x = 4x\left[ {{x^2} - 2(m - 1)} \right].\)

Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị khi phương trình \(y' = 0\) có 3 nghiệm phân biệt hay m>1.

Khi đó tọa độ độ các điểm cực trị là:

\(A(0;2m - 1);\,B(\sqrt {2(m - 1)} ; - 4{(m - 1)^2} + 2m - 1);C( - \sqrt {2(m - 1)} ; - 4{(m - 1)^2} + 2m - 1)\)

Ta có:

 \(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( {\sqrt {2(m - 1)} ; - 4{{(m - 1)}^2}} \right)\\\overrightarrow {AC}  = \left( { - \sqrt {2(m - 1)} ; - 4{{(m - 1)}^2}} \right)\end{array}\)

Tam giác ABC cân tại A có một góc bằng \({120^0}\) suy ra: \(\widehat {BAC} = {120^2} = \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right)\)

\( \Rightarrow \frac{{ - 2(m - 1) + 16{{(1 - m)}^4}}}{{2(m - 1) + 16{{(1 - m)}^4}}} =  - \frac{1}{2} \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^3} = \frac{1}{{24}}

\Leftrightarrow \(m = 1 + \frac{1}{\sqrt[3]{24}}\)